Constante physique

x = -2,5. On dit que 10 a pour antécédent –2,5 : f(-2,5)=10.   Fonctions linéaires : Soit la fonction f (x) = ax + b qui est affine ! Mais : Si b = 0 alors f(x) = ax s’appelle une fonction linéaire. Si a = 0 alors f(x) = b est la fonction constante Représentation graphique : On peut tracer la représentation graphique d'une fonction f. Pour cela, on place dans un repère les points de coordonnées (x,f(x)) que l'on relie entre eux. Soit f(x)=ax+b une fonction affine. La représentation

vitesse exprimée en mètres par seconde est une fonction dérivable y de la variable réelle positive t vérifiant l’équation différentielle : (E) : y′+2y=50 1. Résoudre sur l’intervalle l’équation différentielle y′+2y=0. 2. Déterminer une fonction constante solution de l’équation (E) sur l’intervalle . 3. En déduire la solution générale de (E) sur l’intervalle . 4. Sachant que la vitesse initiale à l’instant t=0 est nulle, déterminer la vitesse y en fonction de t. Partie B On considère la fonction

primitves de f. Une primitive de f n’est donc pas unique. 2.1.2 Primitives d’une fonction Soit f une fonction continue sur I ⊂ R et F une primitive de f . Alors toutes les primitives de f sont de la forme F (x) + C où C = C(x) est une fonction constante (on note parfois C ∈ R). Démonstration. Montrons d’abord que si F est une primitve ⇒ F + C est une primitve. En effet, (F (x) + C) = F (x) + C = f (x) 0 Montrons maintenant que si G est primitive ⇒ ∃ C ∈ R t.q. G = F + C. (G − F ) (x) = G (x) −

Faire le point Pages 14 et 15 du manuel Les propriétés d’une fonction Faire l’analyse d’une fonction consiste à décrire ses propriétés. Soit la représentation graphique de la fonction f ci-dessous. f(x) 4 Maximum Constante 3 2 Négative 1 6444444444444447444444444444448 – 11 –10 9 – – 8 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1– 1 – 1 Strictement croissante 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14444244443144424443 2 2 – Ordonnée à l’origine ou valeur initiale Strictement décroissante x Négative Positive

x→a f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim h→0 x−a h Remarque 1 f est d´erivable en a de nombre d´eriv´e f 0 (a) si et seulement si f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) + hε (h) avec lim ε (h) = 0 h→0 2 2.1 Fonctions usuelles Fonction constante : f : x 7→ C ∀a ∈ R : f (a + h) = f (a) = C. Donc d’apr`es la remarque ?? : f est d´erivable en a et f 0 (a) = 0 2.2 Fonction identit´ e : f : x 7→ x ∀a ∈ R : f (a + h) = a + h = f (a) + h = f (a) + 1.h + hε (h) avec ε (h) = 0. Donc

et les valeurs des paramètres s'affichent dans « résultats de la modélisation » . - pour faire une double modélisation (d’une courbe en deux parties), il faut utiliser : (« définition des bornes ») Note importante : pour modéliser une fonction constante (absente des modèles prédéfinis), la fonction doit être de la forme y(x)=a. Pour obtenir les coordonnées d'un point En déplaçant le pointeur, à l’aide de la souris, dans la fenêtre « graphe », on lit en bas et à gauche les coordonnées du point

multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme : x \mapsto ax+b où les paramètres a et b ne dépendent pas de x. Lorsque ces paramètres sont des nombres réels, une telle fonction est représentée par une droite, dont a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire. Les fonctions constantes et linéaires sont des exemples

dérivée Dans les pré-requis, on a rappelé une propriété entre le sens de variation d’une fonction affine définie sur » par f ( x ) = ax + b , avec a ≠ 0, et le signe du coefficient a. Or la fonction dérivée de la fonction affine f est la fonction constante qui prend la valeur a. Dans l’activité 1, on a observé, sur les intervalles où la fonction f est monotone, le même lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa fonction dérivée. Séquence 6 – MA12 9 © Cned - Académie

v´erifie f (x) = 1/x pour tout x ∈ R∗+ et f (1) = 0. Remarque 4.2. — L’unicit´e est facile : si g : R∗+ → R est une fonction d´erivable v´erifiant g (x) = 1/x pour tout x ∈ R∗+ , alors la fonction h = g − ln v´erifie h = 0 donc est ´egale `a la constante h(1) = g(1), d’o` u g(x) = g(1) + ln(x) pour tout x ∈ R∗+ (et donc g = ln si g(1) = 0). L’existence demande plus de travail. Apr`es avoir vu les int´egrales dans le cours 1M002, vous verrez que la fonction x dt f :x→ t 1 ∗ u ln(x) = f (x). est d´erivable

11 , la dérivée d’une fonction constante étant nulle, F est aussi une primitive de f. D’où le théorème suivant : Théorème : Si f admet une primitive sur un intervalle I alors elle en admet une infinité. Ce sont toutes les fonctions du type F + c où c est une constante réelle. Démonstration : Soient F et G deux primitives de la fonction f sur I. Alors : ! x " I, (G # F)'(x) = G '(x) # F '(x) = f (x) # f (x) = 0 . I étant un intervalle G – F est une fonction constante. Il existe donc un réel c tel que