Constante

en posant   On constate que, si c est non nul, alors l’équation g(x)=0 admet une unique solution . On ne pourra donc définir la fonction h que sur des domaines ne comprenant pas la valeur . Si c est nul et d est non nul, la fonction g est constante et par conséquent h est affine. Si c et d sont nuls, h n’est pas définie. Remarques à ne lire qu’en deuxième lecture. On constate qu’en réalité, des conditions plus restrictives doivent être observées pour obtenir une fonction h homographique non

tous réels a et b de I : si a < b alors (respectivement si a < b alors ). - Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : . - Dire que f est monotone sur I signifie que f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I Remarques : On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre. On dit qu’une fonction décroissante renverse l’ordre. Une fonction constante sur I peut être considérée comme croissante et décroissante sur I. 2) Fonction carré Définition

x→a f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim h→0 x−a h Remarque 1 f est d´erivable en a de nombre d´eriv´e f 0 (a) si et seulement si f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) + hε (h) avec lim ε (h) = 0 h→0 2 2.1 Fonctions usuelles Fonction constante : f : x 7→ C ∀a ∈ R : f (a + h) = f (a) = C. Donc d’apr`es la remarque ?? : f est d´erivable en a et f 0 (a) = 0 2.2 Fonction identit´ e : f : x 7→ x ∀a ∈ R : f (a + h) = a + h = f (a) + h = f (a) + 1.h + hε (h) avec ε (h) = 0. Donc

1) x) ( 3x + 1)2 Utiliser la dérivée de uv x) = (-1) ( x) = ( x) = ( 3x + 1)2 + (7 x)(- 6) ( x 3x + 1) facteur commun : ( 3x + 1) [ 43) x ] 3x + 1) (9 x b. g(x) = 1 x Attention ! 1 est une fonction constante, sa dérivée est 0. et de u n . Ne pas oublier que Utiliser la dérivée de ku, de v x [ x⇢ x ]2= (5x⇢ + 1)6 x) = - 2 c. h (x) = 7 x x x x x x) = x⇢ u. Utiliser la dérivée de ku et de x) = - 7 x) = -2 x x .

primitves de f. Une primitive de f n’est donc pas unique. 2.1.2 Primitives d’une fonction Soit f une fonction continue sur I ⊂ R et F une primitive de f . Alors toutes les primitives de f sont de la forme F (x) + C où C = C(x) est une fonction constante (on note parfois C ∈ R). Démonstration. Montrons d’abord que si F est une primitve ⇒ F + C est une primitve. En effet, (F (x) + C) = F (x) + C = f (x) 0 Montrons maintenant que si G est primitive ⇒ ∃ C ∈ R t.q. G = F + C. (G − F ) (x) = G (x) −

Définition Une fonction f définie sur ℝ est une fonction affine s'il existe deux réels a et b tels que pour tout réel x, f(x) = ax + b. Pour calculer l'image d'un réel x, il suffit donc de multiplier x par le coefficient a, puis d'ajouter la constante b. Exemples : 1. soit f définie par f(x) = 2x - 5; f(x) est bien de la forme ax + b avec a=2 et b=-5, c'est donc une fonction affine. 2. soit g définie par g(x) = -x + 2; on a g(x) = -1x + 2, g(x) est bien de la forme ax + b avec a=-1 et b=2

vitesse exprimée en mètres par seconde est une fonction dérivable y de la variable réelle positive t vérifiant l’équation différentielle : (E) : y′+2y=50 1. Résoudre sur l’intervalle l’équation différentielle y′+2y=0. 2. Déterminer une fonction constante solution de l’équation (E) sur l’intervalle . 3. En déduire la solution générale de (E) sur l’intervalle . 4. Sachant que la vitesse initiale à l’instant t=0 est nulle, déterminer la vitesse y en fonction de t. Partie B On considère la fonction

Karima Mezouar, Carmen Tarín, Munia Masali, Luisa Esteve         INTRODUCTION AUX TEXTES LITTÉRAIRES FRANÇAIS             Adolphe – premier extrait, lignes 1 à 17. Adolphe, est une œuvre autobiographique de Benjamin Constant. Il s’agit d’un roman écrit dans le lyrisme romantique, et développé sous une forme biographique et confessionnelle. Dans l’extrait que nous étudions, le personnage principal, Adolphe, est un jeune homme timide, très influencé par le caractère de

décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors . - Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : . - Dire que f est monotone sur I signifie que f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I. Remarques : - On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre. - On dit qu’une fonction décroissante renverse l’ordre. - Une fonction constante sur I peut être considérée comme croissante et décroissante sur I. 3. Maximum ; minimum

(1804), mais surtout Benjamin Constant qui est l’auteur de nombreux écrits politiques et religieux mais ce ne sont pas à eux qu’il doit sa renommée. Il est essentiellement connu comme l’auteur du roman intitulé Adolphe (1816), ouvrage intime qui constitue une analyse pénétrante, minutieuse et profonde du cœur humain et un examen détaillé de la détérioration graduelle du sentiment amoureux qui conduit à l’échec. Cette étude traitera du problème de l’inconstance chez Constant, et plus précisément de l’instabilité