Décomposition LU

dépendent d'une analyse qui s'effectue sur les valeurs propres. Avant de les présenter, il nous semble utile de rappeler une technique similaire à I' ACP et largernent utilisée en algèbre linéaire, qui porte sur la décomposition en valeurs singulières, notée S VI) pour Singular Value Decomposition [CICHOKI 931. Cette technique, très utile dans les problèmes de résolution de systèmes Iinéaires, a été mentionnée dans le chapitre précédent comme outil de calcul des leviers pour des modèles non Iinéaires. une

4(shu)3 3shu . u Argshx , x R b) Tout le monde sait que : x shu , u R c) Il vient : f ( x) 4. EXERCICE 2. P1 D et P1A et B 1 Décomposition en éléments simples de f ( x) ( x 3) 2 . x 1 x2 2x 5 bx c x 2 Argsh (3x 4x3 ) Argsh (3shu 4(shu)3 ) Argsh (sh(3u)) 3u On peut donc conclure que f ( x) 3u 3 Argshx . On retrouve le résultat due 2. d). Forme de la décomposition : f ( x) E ( x) 0 ) avec E(x)=0. a x 1 car x 2 2 x 5 est non factorisable ( 2x 5 Détermination de a : x=-1 : a =

. . . . . . . 2.3.4 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Eléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Décomposition en valeurs singulières (DVS) 2.5 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Norme d’un matrice . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Approximation d’une matrice . . . . . . . . 3 5 5 5 5 6 6 7 8 8 8 9 9 9 10 11 11 11 12 13 13 14 17

´ Exercices - Residus - Application au calcul ´ d’integrales : ´nonc´ e e Exercice 1 - Calculs de r´sidus - L3/M1 e Calculer les r´sidus aux singularit´s isol´es des fonctions suivantes : e e e f (z) = z2 + z + 1 , z(z 2 + 1)2 g(z) = za , 1−z h(z) = log(z). sin 1 . z−1 On prendra la d´termination principale des fonctions z → z a et z → log(z). e Exercice 2 - Fraction rationnelle - L3/M1 +∞ dx e 1. Soit n ≥ 2 entier. Calculer I = 0 1+xn . On pourra int´grer sur le bord du compact iθ ; 0 ≤

Factorisez x4 x3 x4 3 sur x3 x + 1 x + 1 dans R[X] b) Donnez la décomposition en éléments simples de x4 3 . x3 x + 1 1 1 et de sur ]1; +1[. (x 1)2 x 1 ✓ ◆ x+1 1 2x + 1 1 d) En remarquant que 2 = + et en utilisant les techx +x+1 2 x2 + x + 1 x2 + x + 1 x+1 niques de calculs expliquées ci-dessus, calculez une primitive de 2 x +x+1 c) Calculez une primitive de 4x + 2 . 2x5 + 3x4 + 2x3 + x2 4x + 2 b) Utilisez cette décomposition en éléments simples pour calculer une primitive de 5 2x + 3x4 + 2x3

£  ¢¡ Lycée Charlemagne   Lundi 24 janvier ¨ ©Année   ¡ 0 0 a2 1 0 0 0 0 a3 1 2010/11 I.S.14 I.S.14 MPSI2 £ ¢ 1 1 1 0 a1 1 1 0 a2 ALGÈBRE 2010/11 1 0 0 0 a4 1 0 0 1 1 0 1 a1 1 a1 0 0 1 1 et 1 1 a2 0 1 0 1 0 1 0 1 a3 formule pour le terme général de la matrice de taille Calculez les déterminants des matrices suivantes : 1 1 1 a1 , , . mule que vous conjecturez pour le déterminant de la demande juste la formule, pas une démonstration (bon sang

MPSI/PCSI/ESC Intégration SUP/ESC 1. Méthodes d’intégration 1-1 : Intégrale immédiate 1-2 : Somme ou différence de fonctions 1-3 : Composée de fonction 1-4 : Décomposition en fractions rationnelles 1-5 : Par substitution (changement de variable) 1-6 : Réductions à des formes particulières 1-7 : Intégration par parties 1-8 : Décomposition en série 2. Intégration numérique 2-1 : Méthode des rectangles 2-2 : Méthode des trapèzes 2-3 : Méthode de Simpson 3. Diverses questions 3-1 : Introduction à la

Laboratoire d’Informatique de Paris 6 23 Massih-Reza.Amini@lip6.fr Laboratoire d’Informatique de Paris 6 24 Représentation plus riche: Latent Semantic Indexing Décomposition de la matrice des données en valeurs et vecteurs singuliers Matrice Σ des valeurs singulières t Le LSI est la décomposition en valeurs singulières d’une matrice terme-document X = U.Σ.V t X t1 t2 d2 t3 d3 t4 Termes Documents t4 t3 d1 t1 t2 U Σ V d1 d2 d3 Vecteur singulier V des termes Vecteur

propres associés de la Les méthodes numériques permettant d’effectuer ce calcul sont nombreuses dans la littérature [Press, 1992], [Korn, 1961] ; une méthode robuste est fondée sur l’utilisation de l’algorithme de décomposition en valeurs singulières (ou SVD pour « Singular Value Decomposition ») [Press, 1992] ; c’est celle que nous utilisons ici. On recherche la matrice D telle que : D = P −1 ⋅ C ⋅ P Eq. 2 λ1  où D est la matrice diagonale des valeurs propres D =  0 0   ainsi l’inverse

Série De Revision Parti I Exercice 1: Soit f la fonction définie par ?(?) = 1 √−x²+4x−3 1. Déterminer Df , le domaine de définition de f. 3 2. Calculer l’intégral ∫2 fx. dx Aide : On pourra écrire –x²+4x-3 sous forme canonique puis faire un changement de variable. ∫ Exercice 2 : Calculer la primitive 3x4 +2x²+1 x3 (x2 +1)² dx k4 Exercice 3 : Calculer limn→∞ ∑n k=1 n5 Exercice 4 : Soit φ la fonction définie sur ℝ par φ(x) = b Montrer que ∀(a, b) ∈ ℝ , on a : ∫a e−t² dt = √π 2 2 x ∫