Décomposition LU

ØØÔ »»ÛÛÛºÑ Ø ÓÒ ÙØ ×º Ö Thierry JOFFREDO Mémo DNB Première partie : calcul, fonctions Année 2006-07 C ALCUL SUR LES FRACTIONS Fractions égales On obtient une fraction égale en multipliant (ou en divisant) numérateur et dénominateur par un même nombre non nul : pour tous nombres a, b, k (avec b et k non nuls) • a b = a×k b×k • a b = a÷k b÷k = − ab et −a −b = Exemple : simplification de fractions 25 1 35÷7 5 • 75 = 25÷25 • 35 75÷25 = 3 42 = 42÷7 = 6 Position du signe "−" Pour tous

TD DE TS SPECIALITE : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES Exercice 1 (exercice ouvert) Pour quelles valeurs de l'entier naturel n la fraction A = n2 + n est-elle irréductible? 2n + 1 Exercice 1 Soit n un entier naturel. n 1. Trouver, suivant les valeurs de n, les restes de la division euclidienne de 5 par 13 (on pourra considérer tous les cas particuliers pour n ≤ 4, puis généraliser) . 5 2007 2. En déduire que 2007 – 5 est divisible par 13, puis que 2007 – 8 est divisible par

EXERCICE 2. Suites 1. a) Pour n = 3, le résultat arrondi au dix-millième est 1,834 . b) Cet algorithme calcule et affiche le terme de rang n de la suite donnée dans l’énoncé. c) Il est raisonnable de conjecturer que la suite (un) est croissante et qu’elle converge vers 2. 2. a) On procède par récurrence sur la rang n. - pour n = 0 , u0 = 1 vérifie bien 0 < u0 ≤ 2 - supposons que l’on a vérifié pour un certain entier n : 0 < un ≤ 2 on multiplie chaque membre par 2 > 0 : 0 < 2un ≤ 4 on utilise

Chapitre 3 - Améliorer ses techniques – Corrigés Égalité pour tout réel et équation Exercice 1 ; ; Les nombres et sont donc solutions de l'équation Le nombre ne l'est pas. Math'x seconde © Éditions Didier 2010 . Chapitre 3 - Améliorer ses techniques – Corrigés Égalité pour tout réel et équation Exercice 2 1. Présentons les résultats en tableau : 0 9 9 –2 17 17 2. On obtient les mêmes résultats pour Il est possible que pour tout réel

Cours d’arithm´ etique Premi` ere partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi D´ecembre 2004 Ce document est la premi`ere partie d’un cours d’arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´eparant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´ equences Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´ es Polynˆ omes ` a coefficients entiers Fractions

nul produit de deux nombres entiers différents de un est dit composé. Par exemple, 8=2x4 est composé alors que 11=1x11 est premier. 1 n'est pas premier par convention. La reconnaissance des nombres premiers et des nombres composés avec leur décomposition en facteurs premiers est connue pour être des plus importantes et utiles en arithmétique. En effet, les nombres premiers sont les atomes mêmes de l'arithmétique. Ce sont les nombres indivisibles qu'il est impossible de décomposer sous la forme

un tel que : p≤ a 5.1 Décomposition en facteurs premiers Soit a un entier positif tel que a≥2. • n se décompose en produit de facteurs premiers • Cette décomposition est unique à l'ordre près des facteurs α On note p = p1 1 ⋅ p α 2 ⋅ ... ⋅ p α n , où p1 , p2 , …, pn sont des nombres premiers 2 n distincts et α 1 , α 2 , …, αn des entiers naturels non nuls. Théorème 5.2 Propriétés • Un nombre entier naturel est un carré parfait ⇔ dans sa décomposition en facteurs premiers, les nombres

DEVOIR MAISON DE MATHEMATIQUES. Exercice I : « choisissez un nombre entier, ajoutez lui 4, multipliez le résultat par le nombre de départ, ajoutez 4. Je parie que vous avez un carré parfait! » Soit n un nombre entier choisit par Philippe (nombre de départ). f(n)= (n+4)*n+4 = n2+4n+4 = n2+2*n*2+22 = (n+2)2 f(n) est égale à (n+2)2 (qui et une identité remarquable: (a+b)2). Pour tous nombres entiers n, (n+2)2 s'appelle aussi un carré parfait (carré parfait: un carré parfait est en résumer

(x) qui détermine la factorielle de x (x ! = x * (x-1) * (x-2) * …. * 3 * 2 * 1). Exercice 2 Ecrire un programme qui calcule le PPCM de deux nombres a et b Exercice 3  Écrire un programme qui permet de décomposer en facteurs premiers un entier n lu au clavier. Exemple : Entrée : 48 Sortie : 2^4 x 3 Exercice 4 Tâche : Écrire un programme qui teste la primalité d'un entier naturel. Exemple : • Entrée : n=31 • Sortie : 31 est un entier premier Exercice 5 Ecrire un programme qui

Les Entiers Naturels Un entier naturel est un nombre ≥ 0 qui ne possède pas de décimal après la virgule. Par exemple, le nombre 12. L’ensemble de tous les entiers naturels est représenté par la lettre capitale grasse N. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …} Lorsqu’on effectue des opérations mathématiques avec des entiers naturels (addition, soustraction, division, multiplication), il est important de respecter l’ordre des opérations. Les multiplications et les divisons on toujours priorité sur les