Densité de probabilité

Probabilités séance 7Probabilités et statistiques séance 7Dr EL BADAOUI RabieProfesseur - ENCGMLa loi normaleLa loi la plus importante pour décrire une variable aléatoire continueTrès utilisée dans l’inférence statistiqueElle fournit une description des résultats possibles obtenus grâce à un échantillonLa loi normaleLa courbe normale:La loi normale est représentée par une courbe en forme de cloche. La fonction de densité de probabilité qui définit la courbe en forme de cloche de la loi normale

une lettre grecque,  qui sont solutions de l’équation H  = E. c’est-à-dire les fonctions propres de l’opérateur H. Les valeurs de E pour lesquelles cette équation possède des solutions sont appelées valeurs propres de l’opérateur H. Si la probabilité de trouver la lumière (l'intensité) est proportionnelle au carré de l'amplitude, l'amplitude est nécessaire pour décrire les effets de superposition constructive et destructive. Dans ce qui suit, on s’intéresse aux états stationnaires : caractéristiques

de dollars canadiens Chapitre 1 2013-14 6 / 35 Distribution Loi Normale Quantile Distribution On ne parlera plus de proportion mais de probabilit´. e Chapitre 1 2013-14 7 / 35 Distribution Loi Normale Quantile Distribution On ne parlera plus de proportion mais de probabilit´. e La probabilit´ qu’un salari´ ait un salaire compris entre 30000 dollars e e canadiens et 50000 dollars canadiens est ´gal ` l’aire sous la courbe e a compris entre 30000

localisation de zones colorées, appliquée à l'issue d'une phase d'extraction de la personne par rapport au fond. L'appartenance d'un pixel de l'image au fond est modélisée par une densité de probabilités exprimée dans un espace couleur. Nous montrons que l'utilisation de mixtures de gaussiennes permet d'approcher cette densité de probabilités. La prise en compte de l'évolution temporelle du système est assurée par un filtre à particules, réputé robuste aux occultations partielles et aux modèles non gaussiens

d’appétit pour le risque sont devenus des outils importants pour appréhender les facteurs comportementaux sous-jacents à la volatilité des marchés27. Dans cet encadré, la construction de l’indicateur est fondée sur la comparaison de deux distributions de densité, en l’occurrence la distribution objective (neutre au risque) du rendement futur de l’indice boursier et la distribution statistique de ce même indice, qualifiée dans la littérature de subjective. L’attribution de cette dernière caractéristique à

Thérèse Phan Jean-Pierre Rowenczyk Exercices et problèmes de statistique et probabilités 2e édition Illustration de couverture : digitalvision © Dunod, Paris, 2012 ISBN 978-2-10-056298-5 Table des matières Avertissement Chapitre 1 Probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 1 1 1 2 3 4 7 9 9 10 Rappel de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 5 Calcul des probabilit´ es et variables al´ eatoires 5.1 Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ enement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Ev´ 5.1.2 Op´erations sur les ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Relations entre les ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Ensemble des parties d’un ensemble et syst`eme complet 5.1.5 Axiomatique des Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Probabilit´es conditionnelles

b] et nulle en dehors. Coefficient de corrélation entre deux v.a. X et Y : r XY = E{(X − η X )(Y − η Y )} E{XY} − η X η Y = σ Xσ Y σ Xσ Y { } Densité de probabilité d’une v.a. X gaussienne de moyenne η X et de variance σ 2 X 2  :   1  x − ηX exp −   2  σX 2π σ X   1     2     Densité de probabilité d'un couple (X,Y) de v.a. conjointement gaussiennes : 1 2πσ X σ Y 1 − rXY 2  1  exp− 2  2 1 − rXY  ( )  x − η X   σ X  

5 Calcul des probabilit´ es et variables al´ eatoires 5.1 Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ enement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Ev´ 5.1.2 Op´erations sur les ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Relations entre les ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Ensemble des parties d’un ensemble et syst`eme complet 5.1.5 Axiomatique des Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Probabilit´es conditionnelles

Gagn´ e 1 / 32 Estimation param´trique e Ensemble de donn´es X = {x t }N o` x t ∼ p(x) e t=1 u Variable ind´pendante et identiquement distribu´e (iid) e e Estimation param´trique e Famille de densit´s de probabilit´ p(x|θ) e e Estimation θ : les statistiques suffisantes de la densit´ e Avec une loi normale N (µ, σ 2 ), θ = {µ, σ} Estimation de θ ` partir de X a GIF-4101 / GIF-7005 (U. Laval) M´thodes param´triques e e C. Gagn´ e 2 / 32 Vraisemblance d’une estimation