Dérivabilité

NOM : ……….…………………………………………. Exercice 1 – dérivées diverses – ( 4 pts – 20 mn ) --------------------------------------- Calculer les dérivées des fonctions suivantes. On ne demande pas les domaines de dérivation. a) [pic] b) [pic] c)[pic] d) [pic] e) [pic] Exercice 2 – Les tangentes… ( 2.5 pts – 15 mn ) ----------------------------------------- |On considère la fonction f définie par |[pic] | |[pic]

EXERCICE 3 : (la constante d’Euler) Partie A 1) D’une part on a li   et d’autre part, en ettan t les termes de plus haut degréen facteur on a li   . Du coup, par continuité de la fonction logarithme en 1,on déduit que li  ln   puis que li   2) D’abord,  est dérivable sur [[ comme produit de fonctions dérivables sur  . Onpeut donc dériver la fonction  :       ln     

Corrigé du baccalauréat S Métropole 13 septembre 2012 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 1. D’après le tableau de variations f est croissante puis décroissante, donc : • f ′ (x) > 0 sur ] − ∞ ; a[ ; • f ′ (x) < 0 sur ]a ; +∞[ ; • f ′ (a) = 0. 2. 5 points a. Seuls les points de C 2 ont des ordonnées positives puis négatives, donc seule C 2 peut être la courbe représentative de f ′ . Donc C 1 est la courbe représentative d’une primitive F de f . b. C 2 coupe l’axe des abscisses au

CHAPITRE I : TRANSFORMÉES DE LAPLACE A. FONCTIONS CAUSALES Définition : Une fonction f , définie sur IR est causale si : Pour tout t < 0 , f(t) = 0. 1. Echelon unité Définition : L’échelon unité U est la fonction définie sur IR par : U(t) = 0 si t < 0 U(t) = 1 si t ≥ 0 Remarque : U est constante par morceaux. Elle est discontinue en 0. 2. Utilisation de l’échelon unité Définition : Pour transformer une fonction g définie sur IR en une fonction causale f prenant les mêmes valeurs sur [0 ; +∞[

EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES EXPONENTIELLES ET LES LOGARITHMES Exercice 1 Courbes de Gauss Soit k Î  * . On définit, sur , la fonction Gk par : + Gk(x) = e - kx 1. Étudier la parité de Gk. 2. Démontrer que Gk est dérivable et calculer sa dérivée. En déduire le tableau de variation de Gk. 3. Calculer G¢¢ et résoudre l'équation G¢¢ (x) = 0. k k 1 4. Tracer les courbes de Gk pour k = , 1 et 2. 2 5. Démontrer que : h  k Û Gh  Gk sur  1 6. Dans cette question k = . Soit a la solution positive de

Planche no 3. Fonctions usuelles * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours no 1 (**I) 1) Soit f une fonction dérivable sur R à valeurs dans R. Montrer que si f est paire, f ′ est impaire et si f est impaire, f ′ est paire. 2) Soient n ∈ N∗ et f une fonction n fois dérivable sur R à valeurs dans R. f(n) désignant la dérivée n-ième de f, montrer que si f est paire, f(n) est paire si n est pair et impaire

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Mathématiques appliquées aux S.E.S. Licence 2ème année - Joël GADEN Chapitre 4 Optimisation Libre d’une Fonction. I. FONCTION D’UNE VARIABLE A. Extremum sur un intervalle fermé et borné. Ce n’est pas une recherche locale mais sur un intervalle réel I = [a;b] pour des fonctions continues. 1.Théorème de WEIERSTRASS ” Si une fonction f de R dans R est continue sur un intervalle fermé et borné [a;b] alors f atteint un maximum et un minimum sur cet intervalle ” 2. Méthode pratique de

1 BTS CGO Etude de fonctions : Exemples I) Rappels- Exemples: f désigne une fonction définie au moins sur un intervalle I de . - Pour étudier le sens de variation de f , il suffit de pouvoir étudier le signe de la dérivée f ’(x) pour établir le sens de variation de f sur I . - Rappelons que f ’(x) désigne le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse x. Ainsi, 1) Du signe de la dérivée au sens de variation Propriétés (admises) Soit

Exercice 1 : a. e-2x(x²-1)>0 On étudie le signe de e-2x(x²-1) or e-2x est toujours strictement positif pour tout x de R. et x²-1=0 donc x²=1 donc x=1 ou x=-1 x | -∞ -1 1 +∞ | e-2x | + | + | + | x²-1 | + | - | + | e-2x(x²-1) | + | - | + | S=]-∞,-1[U] 1, +∞ [ eb b.exe2x+1=e-x 3 car ea = ea-b et (ea)ⁿ=(e ⁿa) ex-2x+1=e-3x Donc x-2x+1=-3x x-2x+1+3x=0 2x+1=0