Dérivabilité

Formulaire de dérivées Dérivées des fonctions usuelles Fonction Dérivée Domaine de définition Domaine de dérivabilité x n , n ∈ N∗ nxn−1 R R R∗ R∗ R∗ R∗ 1 x 1 x2 − 1 , n ∈ N∗ xn − xn , n ∈ Z∗ nxn−1 √ x 1 √ 2 x [0, +∞[ ]0, +∞[ ex ex R R ln(x) 1 x ]0, +∞[ ]0, +∞[ sin(x) cos(x) R R cos(x) − sin(x) R R n xn+1 R si n 1, R∗ si n −1 R si n 1, R∗ si n −1 Dérivées

c’est l’objet de la question 2. (a). Montrons que entraine celle au rang . Montrons par récurrence que , pour { } la propriété au rang pour tout ( ) ( ) D’après la question 2. (a) en l’appliquant à au lieu de . Donc pour tout { }, , la dérivabilité étant évidente. (c) Montrons ce résultat par récurrence. Pour , c’est l’objet de la question c’est l’objet de la question 1. (c)). Montrons que pour tout : et , donc (a) (et pour , il s’agit d’une forme indéterminée. lorsque 2 Et Donc

fonctions usuelles Fonction x n , n ∈ N∗ 1 x 1 , n ∈ N∗ xn xn , n ∈ Z∗ √ x ex ln(x) sin(x) cos(x) tan(x) Dérivée nxn−1 − − 1 x2 n xn+1 Domaine de définition R R∗ R∗ R si n ≥ 1, R∗ si n ≤ −1 [0, +∞[ R ]0, +∞[ R R R\{ π + kπ, k ∈ Z} 2 R\{ Domaine de dérivabilité R R∗ R∗ R si n ≥ 1, R∗ si n ≤ −1 ]0, +∞[ R ]0, +∞[ R R π + kπ, k ∈ Z} 2 nxn−1 1 √ 2 x ex 1 x cos(x) − sin(x) 1 + tan2 (x) = 1 cos2 (x) Dérivées et opérations • Si f et g sont deux fonctions dérivables sur I, f + g est dérivable sur I et

donnera une équation. 2 Etudier la dérivabilité d’une fonction sur un intervalle Méthode : On analyse l’expression qui définit la fonction, et on applique au mieux les conditions suffisantes de dérivation (somme, produit, composée . . . ). On détermine ainsi que la fonction est dérivable dans un intervalle J . Lorsque cet intervalle est égal à l’intervalle I sur lequel la fonction est définie, l’étude est terminée. Sinon, on doit étudier la dérivabilité en tout point de I qui n’appartient pas

tableau de signe d'une fonction, il faut toujours la factoriser... Dans ces exercices sur les variations d'une fonction tu verras en détail comment on fait le tableau de variations à partir de la dérivée Lien avec la limite et dérivabilité Haut de page La dérivabilité, c'est le fait qu'une fonction soit dérivable ou non sur un certain intervalle. Pour cela, on va utiliser les limites. Normalement tu as du voir les limites au chapitre précédent. Si ce n'est pas le cas, regarde d'abord ce chapitre

I Ensemble de dérivabilité d'une fonction Fonction |Définie sur |Dérivable sur | |Fonction |Définie sur |Dérivable sur | |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic] |[[pic][ |][pic][ | |[pic] |[pic] |[pic] | | Si f est polynôme ? f dérivable sur[pic] Si f est rationnelle ? f dérivable sur son ensemble de définition II Calcul de dérivée Dérivées usuelles | |Opération sur les fonctions dérivables | |Fonction |Fonction dérivée | |Fonction |Fonction dérivée | |[pic] |[pic] | |U +

Formulaire de dérivées Dérivées des fonctions usuelles Fonction Dérivée Domaine de définition Domaine de dérivabilité x n , n ∈ N∗ nxn−1 R R R∗ R∗ R∗ R∗ 1 x 1 x2 − 1 , n ∈ N∗ xn − xn , n ∈ Z∗ nxn−1 R si n ≥ 1, R∗ si n ≤ −1 R si n ≥ 1, R∗ si n ≤ −1 √ x 1 √ 2 x [0, +∞[ ]0, +∞[ ex ex R R ln(x) 1 x ]0, +∞[ ]0, +∞[ sin(x) cos(x) R R cos(x) − sin(x) R R tan(x) n xn+1 1 + tan2 (x) = 1 cos2 (x) R\{ π + kπ, k ∈ Z} 2 R\{ π + kπ, k ∈ Z} 2 Dérivées et opérations

équation : y = f'(a)(x-a)+f(a) Remarque : Si f'(a) = 0 alors la tangente est horizontale. Il existe des fonctions qui ne sont pas dérivable en un réel a La dérivabilité d'une fonction f en a est liée a l'existence d’une tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a dont le coefficient directeur existe. La non dérivabilité d'une fonction f en a peux correspondre au cas ou la tangente n'existe pas , ou encore au cas ou la tangente existe mais elle est parallèle a l'axe des ordonnées

dérivables sur un intervalle I et k est un nombre réel fixé. Fonction Dérivée Somme f = u + v f’ = u' + v' Produit Quotient f = ku f = uv 1 f= v u f= v f’ = ku' f’ = u'v+uv' v’ f’ = – 2 v u’v – uv’ f’ = v2 Dérivabilité dérivable sur l’intervalle I dérivable sur l’intervalle I dérivable pour les x de I où v(x) ≠ 0 Remarque Si f = u2 = u × u, alors f’ = u’u + uu’ = 2uu’. Composition Si u est dérivable en x de I et g dérivable en u(x), alors f = g

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : ( ) √ Déterminer les limites de , si elle existent, en Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit √ . et en la fonction définie par ( ) Montrer que admet une limite en Allez à : Correction exercice 2 : ( ) et déterminer cette limite. Exercice 3 : Déterminer