Dérivée extérieure

Fiche 3 : Exponentielles, logarithmes I - Fonction exponentielle népérienne Théorème et définition Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que : f’ = f et f(0) = 1 On la nomme fonction exponentielle népérienne et on la note exp. Propriétés immédiates La fonction exp est strictement positive sur R. La fonction exp est dérivable sur et : exp’(x) = exp(x) pour tout x réel. La fonction exp est strictement croissante sur R. Le nombre e. Notation xe On désigne le réel exp(1) par

soit +∞, soit -∞. Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l . x→a y→b x→a Continuité - Dérivabilité Continuité f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0) x→x0 h→0 Limites obtenues par la dérivée Si f est une fonction dérivable en x0 alors : f(x0 + h) - f(x0) f(x) - f(x0) lim = f'(x0) ou encore lim = f'(x0). h→0 x→x0 h x - x0 f est continue sur un intervalle I, si f est continue en tout point x0 de I Limites usuelles La limite d'une

CHAPITRE 2 Exercice 1 Équations différentielles y’ = ay + b (page 38) Réponses a) f ’ (x) = e x. 1 b) f ’ (x) = – 3e x. 2 x 1 c) f ’ (x) = e 2 . 3 2 d) f ’ (x) = 2e–x. 4 Prérequis testés Calculer une dérivée. 1 Prérequis : « Vérifier les acquis » 2 Connaître la fonction f telle que f ’ = af et f (0) = 1. 1. a) f (x) = e x. b) f (x) = e3x. 2. f (x) = e ax. a) a = – 1. Savoir reconnaître une solution d’une équation . b) a = – 1 différentielle. 2 c. a = 2. a) f ’(x) = 2e 2x b) f

Constantes Dérivées de la forme ax Dérivées d'une puissance Dérivées des ln Dérivées des exp A. Constantes 1. Dérivation d'une constate Définition La dérivée de la fonction constante f  x =k est f ′  x =0 Exemple   3 est f ′  x =0 2 La dérivée de f  x =−5 est f ′  x =0 La dérivée de f  x = B. Dérivées de la forme ax 1. Dérivée de la forme f(x)=ax Définition La dérivée d'une fonction de la forme f  x =a x est f ′  x =a Exemple    La dérivée de f  x

[pic] 3.3.2. [pic]soit [pic] EXERCICE 4 ; Étude de la fonction, solution particulière de l'équation différentielle (9 points) 4.1. On considère la fonction f définie sur [0 ; 120] par f[pic] 4.1.1. Fonction dérivée [pic] 4.1.2. Signe de la fonction dérivée [pic] : [pic]> 0 pour tout x donc[pic]> 0 sur l’intervalle considéré. 4.1.3. Tableau de variation : voir annexe. 4.1.4. Tableau de valeurs : voir annexe 4.1.5. Représentation graphique c : voir annexe

Techniques de la dissertation en économie Une dissertation vous permet de montrer que vous savez comprendre un problème et mobiliser les connaissances nécessaires pour y répondre. Comprendre un problème, c'est tout à la fois : en analyser les termes être capable de le situer (dans le temps, par rapport aux autres questions de la discipline, etc.) Mobiliser les connaissances nécessaires suppose : de les avoir acquises correctement d'être capable de les restituer d'articuler ces connaissances

Fonctions trigonométriques Les fonctions sinus et cosinus Valeurs usuelles x en radians sin(x) cos(x) 0 0 1 π = 0, 52 . . . 6 1 = 0, 5 2 π = 0, 78 . . . 4 1 √ = 0, 707 . . . 2 1 √ = 0, 707 . . . 2 π = 1, 04 . . . 3 √ 3 = 0, 86 . . . 2 1 = 0, 5 2 π = 1, 57 . . . 2 1 0 √ 3 = 0, 86 . . . 2 Représentation graphique de la fonction sinus 1 −2π −7 −6 −5 − 3π 2 −4 −π −3 −π 2 −2 −1 −1 1 π 2 π 2 3 y = cos(x) 4 3π 2 y = ) (x sin 5 6 2π 7 • La fonction sinus est définie

ROC 8 -Montrer que pour tous z et z’ de C, |z|^2 = zzbar |z|=√(x^2+y^2) donc |z|^2=√(x^2+y^2)^2=x^2+y^2 D’autre part : zzbar=(x+iy)(x-iy)=x^2-(-iy)^2=x^2-(-y^2)=x^2+y^2 Conclusion : |z|^2 = zzbar -Montrer que pour tous z et z’ de C, |zxz’|=|z|x|z’| |zz’|^2=(zz’)x((zz’)bar)=zz’xzbarz’bar=(zzbar)(z’z’bar)=|z|^2x|z’|^2=(|z|x|z’|)^2 Donc |zz’|=|z|x|z’| car |zz’|≥0 et |z|x|z’|≥0 ROC 9 Soit A et B deux évènements indépendants. Montrer que A et Bbar sont indépendants. P(A)=p(A(B)+p(A(Bbar)

la définition du nombre dérivé calculer f ’(1). 3. Déterminer f ‘(x) en utilisant maintenant les théorèmes vus en cours et comparer le résultat obtenu pour x =1 dans la question 2°) Exercice 2 (2 points) Cadeau !! Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous après avoir précisé l’ensemble de dérivation. 1. g définie sur par g(x) = -2 x3 + x – 2² 2. h définie sur par h(t) = + + 3. i définie sur ]0 :+ [ par i(x) = 4 + - (² Exercice 3 (3.5 points) j est

09/2003 Polynésie Le condensateur dans tous ses états 5,5 pts Corrigé 1.1. q = I.(t où q est la charge portée par une armature du condensateur exprimée en coulombs, I est l'intensité du courant exprimée en ampères et (t la durée de la charge exprimée en secondes. A la date t = 3,0 s on a q = 12.10–6 ( 3,0 = 3,6.10–5 C 1.2. La courbe représentative de q= f(uAB) est une droite passant par l'origine. La charge q est donc proportionnelle à la tension uAB. On sait que q = C . uAB. C est le