Dérivée partielle

x 3) T : y = f (9) + f (9)(x − 9) ; f (9) = ; f (x) = = √ ; f (9) = ;T :y= x+ 3 x2 2x x 54 54 2 Réponses exercice 3 : Rappel : le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a est égal à f (a). (−2x + 2)x − (−x2 + 2x − 1) −x2 + 1 La dérivée de f est définie par : f (x) = = . x2 x2 1) La tangente est horizontale si et seulement si son coefficient directeur est nul. On résoud donc l’équation f (x) = 0. On obtient x = 1 ou x = −1. 2) Cela revient à résoudre l’équation f (x) = −2 qui n’admet

logarithme népérien et g la fonction composée ln(f). 2. Quel est l’ensemble de définition de la fonction g, noté Dg ? a. b. [-5 ; 2] c. [0 ; 2[ 3. Quelle est la valeur de g(0) ? a. g(0) = 2 b. g(0) = 0 c. g(0) = ln(2) 4. On note g’ la fonction dérivée de la fonction g. Quelle est la valeur de g’(1) ? a. g’(1) = e b. g’(1) = 0 c. g’(1) = - 1 5. Quelle est la limite de g(x) quand x tend vers 2 ? a. lim g(x) = - b. lim g(x) = 0 c. lim g(x) = + x2 x2 x2 Partie B : chaque réponse doit être

D´ erivation 1 D´ efinition D´ efinition 1 Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I et soit a ∈ I. On dit que f est f (x) − f (a) d´erivable en a si la fonction x 7→ admet une limite finie ` lorsque x tend vers a. x−a D´ efinition 2 Si f est d´erivable en a on appelle nombre d´eriv´e de f en a et on note f 0 (a) le nombre f 0 (a) = lim x→a f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim h→0 x−a h Remarque 1 f est d´erivable en a de nombre d´eriv´e f 0 (a) si et seulement

proportionnel à x2 – x1, comme le donne l’égalité : f(x_2) - f(x_1) = a (x_2 - x_1). Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient a : a = \frac{f(x_2) - f(x_1)} {x_2 - x_1} si x1 ≠ x2. Par conséquent, la dérivée d'une fonction affine est une fonction constante : le coefficient directeur de la fonction affine. L'ordonnée à l'origine b peut se calculer de la manière suivante : b=\frac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_2-x_1} si x1 ≠ x2. Exemples Abonnements

démonstration Elle est assez difficile donc pas de découragement surtout ! On peut s’aider d’un schéma pour visualiser car on utilise les propriétés géométriques des courbes de ln x et de ex . Les pré requis La fonction exponentielle est dérivable , sa dérivée est elle-même Les courbes des fonctions ln x et ex sont symétriques par rapport à la première bissectrice . Les formules de calcul avec ln x La démonstration On note C la courbe de e x et C’ la courbe de ln x . Soit D la première bissectrice

CINEMATIQUE A UNE DIMENSION I – Position. Déplacement. Distance parcourue. Soit un point matériel x se déplaçant le long d’une droite orientée muni d’un axe (x’Ox). Sa position : x est repéré par rapport au point d’origine O. La fonction x(t) est l’équation horaire du mouvement. Le déplacement est la variation de position entre l’instant initial et l’instant final : ∆x = xf - xi La lettre grecque ∆ désigne la variation de la grandeur dont elle est suivie. Elle correspond toujours

Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr LIMITES – EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. Déterminer la limite éventuelle en + ∞ de chacune des fonctions suivantes : 1 x3 1) f ( x ) = 2) f ( x ) = − x 4 1 x 3) f ( x ) = −3 + Déterminer la limite éventuelle en − ∞ de chacune des fonctions suivantes : 4) f ( x ) = − x 3 5) f ( x ) = 5 + 1 x 6) f ( x ) = −x Déterminez les limites suivantes 7) lim (2 x + 1 − x →+∞ 1 ) x 8) lim(

de la tangente à la courbe C f au point A d’abscisse a est : y = f ′ (a) × (x − a) + f (a) II 1 F ONCTION DÉRIVÉE D ÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque pour tout réel x appartenant à I, f est dérivable en x, on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui associe à tout réel x appartenant à I son nombre dérivé f ′ (x) est appelée la fonction dérivée de f sur l’intervalle I. Elle est notée f ′ . 2 D ÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE f définie sur . . .

FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES LE RÔLE DES COEFFICIENTS Rappels des définitions. Compléter le tableau suivant : | |Fonction linéaire f |Fonction affine g | |Formule de l’image |f(x) est de la forme : f (x) = ………… |g(x) est de la forme : g (x) = ………… | |Ecriture de la fonction |f : x 

[000738] Exercice 11 On considère la fonction f : R → R définie par f (t) = e1/t 0 si t < 0 si t 0 1. Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t = 0. 2. Etudier l’existence de f (0). 3. On veut montrer que pour t < 0, la dérivée n-ième de f s’écrit f (n) (t) = Pn (t) 1/t e t 2n où Pn est un polynôme. (a) Trouver P1 et P2 . (b) Trouver une relation de récurrence entre Pn+1 , Pn et Pn pour n ∈ N∗ . 4. Montrer que f est de classe C∞ . Correction Vidéo [000740]