Dérivée seconde

[pic] Une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2 est [pic]. 3) Formules de dérivation des fonctions usuelles : |Fonction f |Ensemble de définition de f |Dérivée f ' |Ensemble de définition de f ' | |[pic], [pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic], [pic] |[pic]

CHAPITRE 1 CINEMATIQUE DU POINT CINEMATIQUE ? C’est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement. A-Rappels du mouvement unidimensionnel (mvt rectiligne) Le mouvement d’un objet M est dit rectiligne si sa trajectoire est une droite. On pourra alors repérer cet objet M, au cours du temps, par son abscisse par rapport à une origine O d’un axe OX. O → i M → → → . X OM = x i = r : vecteur position Rappelons

népérien et g la fonction composée ln( f ). 2. Quel est l’ensemble de définition de la fonction g , noté Dg ? 5 a. ]0 ; [ b. [−5 ; 2] c. [−5 ; 2[ 2 3. Quelle est la valeur de g (0) ? a. g (0) = 2 b. g (0) = 0 c. g (0) = ln(2) 4. On note g ′ la fonction dérivée de la fonction g . Quelle est la valeur de g ′ (1) ? 1 a. g ′ (1) = e b. g ′ (1) = 0 c. g ′ (1) = − 2 e 5. Quelle est la limite de g(x) quand x tend vers 2 ? a. lim g (x) = −∞ b. lim g (x) = 0 c. lim g (x) = +∞ x→2 x→2 x→2 Partie B : chaque réponse

Ts CORRECTION DS 1 I) f ( x ) – f ( 2 ) ( 2 – x ) 4 – x2 - 0 f(x)–f(2) • = = - 4 – x2 donc lim = lim - 4 – x2 = 0 donc x–2 x→2 x→2 x–2 x–2 la fonction est dérivable en 2 et la courbe admet au point d’abscisse 2 une tangente horizontale car f ’ ( 2)=0. • En x = 1 la courbe admet un point anguleux ( il y a donc 2 demi tangentes de coefficient directeur différent ) la fonction n’est pas dérivable en 1 . II ) 1°f ( 0 ) = 2 ordonnée du point de la courbe d’abscisse 0 de même f ( 2 ) = - 2 f ’ ( 0 ) =

par f(x) = x² + 2x et Cf sa courbe représentative dans un repère (O,Å;i),Å;j)). A l’aide de la définition du nombre dérivé, calculer f’(1). Donner une équation de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 1. En utilisant les formules de dérivées, calculer f’(x) puis retrouver le résultat de 1).  Calculer l’équation réduite de la droite (BK). Lire graphiquement les coefficients directeurs des droites TD et TE. Soit Cf la courbe représentative d’une fonction f définie sur [ -6 ; 10]

F.III-12 F.III. Processus de diffusion L’intégrale stochastique permet de donner un sens à l’équation intégrale : X t = X 0 + ∫ µ ( s, X s )ds + ∫ σ ( s, X s )dWs 0 0 t t dont une solution est appelée un processus de diffusion. On écrit souvent l’équation ci-dessus sous sa forme différentielle plus compacte : dX t = µ (t , X t ) dt + σ (t , X t )dWt appelée équation différentielle stochastique. La partie µ (t , X t ) est appelée SCAILLET F.III-13 drift ou terme de

courbe représentative d’une fonction dérivable en un point. CAPACITÉS ATTENDUES Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé. Fonction dérivée. Dérivée des fonctions usuelles 1 et xn √x x (n entier naturel non nul). Dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient. Calculer la dérivée de fonctions. Lien entre signe de la dérivée et sens de variation. Extremum d’une fonction. Exploiter le sens de variation pour l’obtention d’inégalités. COMMENTAIRES Le nombre dérivé

26/1/2015 Dérivées en Première ES Dérivées Savoir-faire : Calculer un nombre dérivé à partir de la définition Lire graphiquement un nombre dérivé Tracer une tangente à la courbe représentative d'une fonction connaissant le nombre dérivé Déterminer l'équation de la tangente en un point de la courbe représentative d'une fonction Calculer une dérivée à partir des formules de dérivation «usuelles» Déterminer le sens de variation d'une fonction à partir du signe de sa dérivée I - Nombre dérivé Définition

l’indétermination typique dans les calculs de nombre dérivé lim et doit x→x0 0 x − x0 donc éveiller les soupçons. Un certain stock de ces nombres dérivés sont fournis une bonne fois pour toutes en cours. ln(1 + x) qui donne la dérivée de la fonction x → ln(1 + x) en 0 (ou la dérivée de x → ln(x) en 1). Ici, on utilise lim x→0 x ln(1 + x) 1 ln(1 + x) ln(1 + x) = = 1. × . . . lim Pour x > −1 et x = 0 et x = 1, 2 x→0 x−x x 1−x x − x2 2 sin(x) − 1 . Exemple 6. Trouver lim 6x − π x→π/6

MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE Il suffit de connaître la position X(t) d’un point M du solide en translation, pour connaître sa vitesse et son accélération , mais aussi celles de tous les autres points car la vitesse est identique en tout point. uniformément accéléré ou décéléré (régime transitoire) uniforme (régime établi ou permanent) Accélération : C’est la pente de la courbe de vitesse V(t) Accélération : Vitesse : a et V de même signe : Accélération a et V de signes