Dérivée seconde

B 1 B A 0 1 x 1+h III) Fonctions dérivées : cela signifie que la fonction est dérivable en tout nombre x de I. f '(x) existe ! a) fonction dérivée : définition : Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction qui associe à tout x de I le nombre dérivé f '(x) est appelée la fonction dérivée de f. On la note f ' Ex : Soit la fonction f définie sur telle que f (x) = (x – 3)2. Soit a un nombre réel. Déterminons la fonction dérivée f ' de la fonction f : On a pour tout

L’agrégat M3 en progression de 0,3% L'agrégat monétaire M3 s'est inscrit en hausse de 0,3% en mai dernier contre un repli de 0,8% en avril, selon BAM, qui attribue cette progression à la hausse de 1,5% des créances sur l'économie et de 3,9% des créances nettes sur l'administration centrale qui a été atténuée par la baisse de 4,6% des avoirs extérieurs nets et l'effet négatif induit par la hausse des ressources à caractère non monétaire. L'agrégat monétaire M3 s'est inscrit en hausse de 0,3% en

FONCTIONS DÉRIVÉES I. Savoir calculer une dérivée : • Exemple : Calculer la dérivée f ′(x ) dans chacun des cas suivants : f (x ) = 3x 4 + 5x − 1 g( x ) = 3 x h( x ) = • Méthode : On utilise les formules du calcul des dérivées. 3 x2 k ( x) = 2x + 1 x2 f(x) f '(x) f(x) f '(x) ax + b axn 1 x a naxn-1 1 − 2 x 1 2 x u(x) + v(x) u.v 1 u u v u'(x) + v'(x) u'.v + u.v' u′ − 2 u u′v − uv ′ v2 x • Solution : f (x ) = 3x 4 + 5x

g’(−3) = +1 −2 EXERCICE TYPE 3 Déterminer par le calcul une équation d’une tangente On considère la fonction h : x x3 − 9x + 2 et on note (Ch) sa courbe représentative. On admet dans cet exercice que h’(2) = 3. ( voir fiche « Calculer une dérivée » ) a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe (Ch) au point A d’abscisse 2. b. Tracer la tangente T dans le graphique donné ci-dessous avec la courbe (Ch). Solution a. ¤ Par définition du nombre dérivé, h’(2) est le coefficient directeur

ordonnées ( donc elle n'a pas de coefficient directeur ) Fonction dérivée Définition : Soit f une fonction définie Df et soit I un intervalle inclus dans Df. On dis que f est dérivable sur I su elle est dérivable pour tout a ϵ I . On appelle alors fonction dérivées de f, la fonction f':x → f'(x) Dérivée des fonctions usuelles Fonction f F est dérivable sur... Dérivée f' f(x) = a avec a réel sur IR IR f'(x) = 0 f(x) = x sur IR IR f'(x)

oblique : Y = Mx + P Équation pour trouver M : M = lim f(x) h Équation pour trouver P : P = lim f(x) – m(x) Chapitre 9 : Les dérivées. Le taux d'accroissement de f en x est le quotient définis par TA f(Xo) = f ( Xo + h ) - ( f(Xo) ) h Une fonction f est dérivable en Xo si le taux d’accroissement de f en Xo admet une limite réelle lorsque l'accroissement tend

TP GEOGEBRA A : TP Il s’agit de visualiser ce qui se passe lorsqu’on considère le taux d’accroissement de f(x) autour de a et qu’on fait varier h. 2 x 1. Construire la courbe (C) d’équation y  x 2   2 = f(x), en bleu. 9 3 2. Placer le point A de cette courbe d’abscisse 2 3. Créer un curseur que vous nommez h, dont les valeurs varient de -5 à 5, incrément 0,01. 4. Placer le point M de cette courbe d’abscisse 2+h 5. Tracer la droite (AM), en pointillé. f(2  h)  f(2) 6. Calculer la valeur de t

I. Taux d'accroissement Activité 1 : Un point mobile M se déplace sur un axe. La distance parcourue par ce point à l'instant t est donnée par d (t)=t 2 . L'origine est t 0=0 . a) Calculer la vitesse moyenne du point M entre les instants 1 et 2 ; 2 et 3 ; 2 et 2,1 ; 1,9 et 2. b) Comment pourrait-on définir une vitesse instantanée à l'instant t=2 ? Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+h des réels de I, h≠0 . f (a+ h)− f (a) Le taux d'accroissement de f ente a et a+h

coefficient directeur 1, donc f’(1) = 1 Or ? ! 1 = 1   ⟺ 3? − 2? = 1 ⟺ ? = 1. Donc ? ? = ?? − ?? − ?  ?? ?! ? = ??? − ??. 2. ? ? = ? ! − ? ! − 1  et ? ! ? = 3? ! − 2? = ?(3? − 2) Sens de variation : !   ? ! ? = ?(3? − 2), les valeurs qui annulent la dérivée sont 0 et ! , on retrouve les renseignements 1 et 3. Donc ? ! ? est positive à l’extérieur des racines. 2 ? ! ? > 0  si  ? ∈ I = −∞; 0  et  si  ? ∈ J = ; +∞ 3 f est monotone croissante sur I et sur J 2 ? ! ? < 0  si  ? ∈ K = 0; 3 f est monotone décroissante

définie sur I telle que F ’ = f sur I. Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = 3x2 + cos x. Mentalement on reconnaît la dérivée de la fonction x ! x 3 + sin x . En posant F(x) = x 3 + sin x , on a bien : ! x " !, F '(x) = 3x 2 + cos x = f (x) . Donc F est bien une primitive de f sur ! . Remarque : si l’on choisit F(x) = x 3 + sin x + 11 , la dérivée d’une fonction constante étant nulle, F est aussi une primitive de f. D’où le théorème suivant : Théorème : Si f admet une primitive