Dérivée seconde

bac sur la fonction ln Exercice 1 ( Pondichéry 2011) ( 5 points) Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 8] par f (x) = 30 ln(x) + 10 − 10x. 1. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [1 ; 8] et on note f ′ sa fonction dérivée. Montrer 30 − 10x que, pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 8], f ′ (x) = . x 2. Étudier le signe de f ′ (x) sur l’intervalle [1 ; 8] et en déduire le tableau de variations de la fonction f . 3. (Recopier et) compléter le tableau de valeurs suivant

Fonctions de référence Ces exercices sont proposés pour un travail en autonomie. Les exercices 1 à 8 peuvent être traités dès à présents. Rappels sur les fonctions affines Exercice 1 : Parmi les fonctions suivantes, reconnaître les fonctions affines, donner leur coefficient directeur m et leur sens de variations. 5 1. f (x) = 2 − x 3 4 3 (x − 1) − 3 2. g (x) = 3 5 2x 2x + 1 4. k(x) = 3 5. m(x) = − 3. h(x) = 3x 2 6. n(x) = x 2 − (x − 1)2 Exercice 2 : Déterminer

x'(t0) est la vitesse instantanée du point mobile à l'instant t0. Remarque : Il ne faut pas confondre avec la vitesse moyenne entre t0 et t1 qui est . II. Fonction dérivée 1. Définition La fonction dérivée est la fonction f ' : x f '(x). Remarque : il ne faut pas confondre le nombre dérivé f '(x) et la fonction dérivée f ' (comme il ne faut pas confondre f (x) et f). 2. Propriétés Si u et v sont deux fonctions dérivables sur le même ensemble D, alors les fonctions suivantes sont dérivables

INTRODUCTION Le mouvement d’un pendule simple est un mouvement pseudopériodique. Le pendule simple parfait est défini comme suit : une boule de masse M et de rayon R accroché à un fil de masse m et de longueur l. Si on tire la masse M jusqu’au point B en formant l’angle θ0 et on la laisse, la pendule commence un mouvement oscillatoire. A la fin de ce TP, nous déterminerons la gravité terrestre «g». PARTIE THEORIQUE 1-Donnons l’équation différentielle dans le cas du pendule simple réel :

Fiche 3 : Exponentielles, logarithmes I - Fonction exponentielle népérienne Théorème et définition Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que : f’ = f et f(0) = 1 On la nomme fonction exponentielle népérienne et on la note exp. Propriétés immédiates La fonction exp est strictement positive sur R. La fonction exp est dérivable sur et : exp’(x) = exp(x) pour tout x réel. La fonction exp est strictement croissante sur R. Le nombre e. Notation xe On désigne le réel exp(1) par

Constantes Dérivées de la forme ax Dérivées d'une puissance Dérivées des ln Dérivées des exp A. Constantes 1. Dérivation d'une constate Définition La dérivée de la fonction constante f  x =k est f ′  x =0 Exemple   3 est f ′  x =0 2 La dérivée de f  x =−5 est f ′  x =0 La dérivée de f  x = B. Dérivées de la forme ax 1. Dérivée de la forme f(x)=ax Définition La dérivée d'une fonction de la forme f  x =a x est f ′  x =a Exemple    La dérivée de f  x

Techniques de la dissertation en économie Une dissertation vous permet de montrer que vous savez comprendre un problème et mobiliser les connaissances nécessaires pour y répondre. Comprendre un problème, c'est tout à la fois : en analyser les termes être capable de le situer (dans le temps, par rapport aux autres questions de la discipline, etc.) Mobiliser les connaissances nécessaires suppose : de les avoir acquises correctement d'être capable de les restituer d'articuler ces connaissances

Fonctions trigonométriques Les fonctions sinus et cosinus Valeurs usuelles x en radians sin(x) cos(x) 0 0 1 π = 0, 52 . . . 6 1 = 0, 5 2 π = 0, 78 . . . 4 1 √ = 0, 707 . . . 2 1 √ = 0, 707 . . . 2 π = 1, 04 . . . 3 √ 3 = 0, 86 . . . 2 1 = 0, 5 2 π = 1, 57 . . . 2 1 0 √ 3 = 0, 86 . . . 2 Représentation graphique de la fonction sinus 1 −2π −7 −6 −5 − 3π 2 −4 −π −3 −π 2 −2 −1 −1 1 π 2 π 2 3 y = cos(x) 4 3π 2 y = ) (x sin 5 6 2π 7 • La fonction sinus est définie

ROC 8 -Montrer que pour tous z et z’ de C, |z|^2 = zzbar |z|=√(x^2+y^2) donc |z|^2=√(x^2+y^2)^2=x^2+y^2 D’autre part : zzbar=(x+iy)(x-iy)=x^2-(-iy)^2=x^2-(-y^2)=x^2+y^2 Conclusion : |z|^2 = zzbar -Montrer que pour tous z et z’ de C, |zxz’|=|z|x|z’| |zz’|^2=(zz’)x((zz’)bar)=zz’xzbarz’bar=(zzbar)(z’z’bar)=|z|^2x|z’|^2=(|z|x|z’|)^2 Donc |zz’|=|z|x|z’| car |zz’|≥0 et |z|x|z’|≥0 ROC 9 Soit A et B deux évènements indépendants. Montrer que A et Bbar sont indépendants. P(A)=p(A(B)+p(A(Bbar)

la définition du nombre dérivé calculer f ’(1). 3. Déterminer f ‘(x) en utilisant maintenant les théorèmes vus en cours et comparer le résultat obtenu pour x =1 dans la question 2°) Exercice 2 (2 points) Cadeau !! Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous après avoir précisé l’ensemble de dérivation. 1. g définie sur par g(x) = -2 x3 + x – 2² 2. h définie sur par h(t) = + + 3. i définie sur ]0 :+ [ par i(x) = 4 + - (² Exercice 3 (3.5 points) j est