Déterminant

caractéristique de cette matrice en calculant son déterminant : det(M (x∗ , y ∗ ) − rI) = (a11 − r)(a22 − r) − a12 a21 = r 2 − (a11 + a22 )r + (a11 a22 − a12 a21 ). Ce polynôme du second degré admet deux racines négatives (ou a partie réelle négative) si et seulement si : (1) det(M ) = (a11 a22 − a12 a21 ) > 0 (2) tr(M ) = (a11 + a22 ) < 0 Ces deux conditions garantissent la stabilité de l’équilibre stationnaire (x∗ , y ∗ ). Le signe du déterminant de l’équation caractéristique permet de préciser

GL2 (Z) Diagonalisation : résumé MOSE 1003 COMMENT DIAGONALISER UNE MATRICE 2 × 2 EN 6 ÉTAPES Petits rappels de théorie Étant donnée une matrice 2 × 2 A= 1. A est diagonale si A = a b , c d λ1 0 ; 0 λ2 2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A −

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 2012 Enoncés 1 Calcul matriciel Opérations sur les matrices Exercice 1 [ 01247 ] [correction] Pour A ∈ Mn (K), on note σ (A) la somme des termes de A. On pose   1 ··· 1  . .  J =  . (1) .  . . 1 Vérifier J.A.J = σ(A).J. ··· 1 Calcul des puissances d’une matrice Exercice 6 [ 01251 ] [correction] Calculer An pour n ∈ N et les matrices A suivantes : 1 1 a b cos θ − sin θ a) A = b) A = c) A = 0 2 0 a sin θ cos θ Exercice 7 [ 01252 ] [correction]

PCSI A 2009-2010 Mathématiques Lycée Brizeux Suites récurrentes linéaires. 1 Généralités Dans cette partie K désigne indifférement le corps des réels ou celui des complexes. Définition 1. Soit (a, b) ∈ K × K∗ . Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 est une suite (un )n∈N qui satisfait la relation de récurrence pour tout n ≥ 0 : un+2 = aun+1 + bun . Théorème 1.1. Soient (a, b) ∈ K × K∗ et l’ensemble La,b de suites récurrentes linéaires d’ordre 2 : La,b = {(un )n∈N ∈ KN | ∀n

Université Pierre et Marie Curie-Paris 6 - CNED - 1M005 - Devoir n◦ 1 Ce devoir est basé sur le première partie (“Algèbre Linéaire”) du texte de cours disponible sur la plateforme Sakai (voir 1M005_CoursAlgebre_15.pdf). Les exercices des feuilles 1-5 contenus dans 1M005_TD_15.pdf sur Sakai constituent un bon entrainement. Rédiger de façon claire et justifier rigoureusement les réponses. Exercice 1. Considérer deux vecteurs v et w de R3 et leur produit scalaire v · w ∈ R. 1. Exprimer le produit

. Le déterminant de ⎣ −14 11 ⎦ ⎢ x2 ⎥ ⎣ ⎦ la matrice est 121 – 196 = –75. Elle n’est alors pas définie positive. Ainsi, la première forme quadratique n’est pas nécessairement positive. La seconde forme repose sur la ⎡5 2 3 ⎤ matrice ⎢ 2 1 4 ⎥ . Il y a plusieurs façons de vérifier ce qui est demandé. Il est possible ⎢ ⎥ ⎢3 4 7⎥ ⎣ ⎦ d’examiner les signes des minorants principaux, qui doivent être positifs. Les deux premiers termes sont 5 et 5(1) – 2(2)=1, mais le troisième, le déterminant, est –34

d’ordre n telle que AB = BA = I La matrice B, si elle existe, elle est unique et est appelés matrice inverse de A et est notée A-1. A.A-1 = A-1A = I 8. INVERSION DES MATRICES Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. La matrice inverse est donnée par la formule suivante : A-1 = t(A*) A* est la comatrice notée aussi (com A) représente la matrice des cofacteurs. Les éléments de A* sont les Xij = (–1)i+jij notés ci-dessus. Lorsque n = 2 =

COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ANNEXE 1 : Etude des extremums locaux des fonctions numériques de plusieurs variables réelles. Théorème : Soient U un ouvert de (p ,[pic]: U[pic]( de classe C², [pic][pic]U un point critique de[pic]. Notons Q la forme quadratique définie sur (p par : [pic]h = (h1,…,hp) [pic](p , Q(h) = [pic]hi.hj.[pic]. Si Q est positive et non dégénérée, alors [pic] admet un minimum local strict en [pic] Si Q est négative et non dégénérée, alors [pic] admet un maximum

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1er mars 2014 Enoncés 1 Calcul matriciel Calcul des puissances d’une matrice Opérations sur les matrices Exercice 6 [ 01251 ] [correction] Calculer An pour n ∈ N et les matrices A suivantes : Exercice 1 [ 01247 ] [correction] Pour A ∈ Mn (K), on note σ (A) la somme des termes de A. On pose   1 ··· 1  . .  J =  . (1) .  . . ··· 1 a) A = 1 0 1 2 b) A = Exercice 7 [ 01252 ] [correction] On considère la

Expression de tan (α) l’angle qui permet d’atteindre le point Mlp Tan (α) sera de la forme (-b)/2a donc tan⁡( a) (〖2V〗_0^2)/((gx_lp)/2)=(2V_0^2)/(2gx_lp ) L’expression de tan(a) est : tan(a)= (2V_0^2)/(2gx_lp ) Calcul de tan(a) et tan(a), les 2 angles permettant d’attendre le point A. Nous allons utiliser la formule (-b±√∆)/2a car nous avons 2 solutions. 〖tan⁡(α〗_1)=(-(-(〖2V〗_0^2)/(gx_a ))-√∆)/2=(V_0^2)/(gx_a )-√∆/2= (V_0^2)/(gx_a )-√((4.V_0^4)/(g^2 x_a^2 )-(8.V_0^2