Diagonale principale

   2. Montrer qu’il existe une base B de Rn telle que MatB (f) =     1 ···  1 1   . Exercice 23.26 Soit M =  . 0  .  . . .  . . . 1 0 nique. Montrer qu’il existe une base B  ··· 0 .. . ··· ··· .. . 1 0 . . .      (matrice diagonale).   0  2     , on note f l’endomorphisme associé à M dans la base cano  .. . 1 0  ··· 0 1 de Rn telle que     MatB (f ) =      1 0 .. . ··· 0 1 0 ··· ··· ··· .. . λ 0 0 0 . . .        0  µ  0 . .. . . . . . ···

E1,2 1,2 1,2 commutent, la formule du binôme de Newton permet d’écrire T n = λn I2 + nλn−1 E1,2 = Mais alors ∀n ∈ N, An = Q λn 0 nλn−1 λn Q−1 . λn 0 nλn−1 λn . I.A.5) • Si A admet deux valeurs propres distinctes, A est semblable à une matrice diagonale d’après la question I.A.3). Dans ce cas, A est diagonalisable. • Si A admet une valeur propre double, d’après la question I.A.4), A est semblable à la matrice T . T admet λ pour valeur propre double. Cependant, rg(T − λI2 ) = 1 = 0 ou encore dim(Ker(T

+ K0 est symétrique, défini positive, inversible et creuse. 2.6 Il s’agit d’éliminer les noeuds placés sur le bord du domaine. On peut donc faire ainsi : Soit R la matrice diagonale dont le coefictient i,i vaut 0 si le noeud i est sur le bord et 0 sinon. F = RA + RA2 Avec A2 la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont ceux de A. 2 

LA DIAGONALE DU VIDE LA DIAGONALE DU VIDE 1. origine et définition 2. espaces de forte densité 3. espaces de faible densité 4. conclusion 1. ORIGINE ET DEFINITION ORIGINE Les exodes ruraux du 19ème et 20ème siècles ont vidé les campagnes peu à peu. Une ligne traversant la France du Nord-est au Sud-ouest a été particulièrement touchée par cet exode. Pouvant être qualifiée de « désert français », cette zone atteint des densités de population particulièrement faibles,

GL2 (Z) Diagonalisation : résumé MOSE 1003 COMMENT DIAGONALISER UNE MATRICE 2 × 2 EN 6 ÉTAPES Petits rappels de théorie Étant donnée une matrice 2 × 2 A= 1. A est diagonale si A = a b , c d λ1 0 ; 0 λ2 2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A −

tu vas avant que tu montes, pour t´envoyer non pas l´ascenseur le plus proche, mais celui qui fera le moins d´arrêts ! construite en béton armé, entièrement recouverte d'une façade de verre, créant plus de 4 400 fenêtres. Située sur l'avenue Diagonale, près de la Place des Gloires Catalanes, l'édifice abrite le siège du groupe Aguas de Barcelona (la Société des Eaux de Barcelone). Concernant ses proportions, la tour Agbar mesure 145 mètres de haut et comporte 38 étages, dont quatre en sous-sol

déduire que pour tout entier naturel n, X n = A n X 0 . cn 3. Soient les matrices P = 1 −1 5 1 et Q = 1 1 . −5 1 a. Calculer PQ et QP . En déduire la matrice P −1 en fonction de Q. b. Vérifier que la matrice P −1 AP est une matrice diagonale D que l’on précisera. c. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, A n = P D n P −1 . 4. Les résultats des questions précédentes permettent d’établir que vn = 1 1 1 + 5 × 0, 94n v 0 + 1 − 0, 94n c0 6 6 Quelles informations

sont nuls sauf le diagonal direct, soit : Iij = 1 si i = j Iij = 0 si i j La matrice unité est l’élément neutre dans l’ensemble des matrices de même ordre. AI = IA = A 6.3. Matrice diagonale La matrice est dite diagonale i j aij = 0 et seule la diagonale partant de a11 du carrée que constitue la matrice, peut contenir des éléments non nuls. (Exemple de matrice diagonale) 6.4. Matrice triangulaire Une matrice A est triangulaire si, d’un côté de la diagonale, elle ne referme que

n’est pas à première vue évidente. Un théorème important nous sera alors très utile. Théorème : Si A est une matrice réelle carrée (kxk) de rang k , alors il est possible de montrer que C−1 AC = Λ(1) où C est une matrice carrée (kxk) et Λ un matrice diagonale (kxk)   λ1 0 0    0 ... 0  . 0 0 λk Dans la même veine, on peut aussi montrer que A = C ΛC−1 (2). Note : Pour obtenir l’expression (2) on doit prémultiplier avec C et postmultiplier avec C−1 l’expression (1) et, donc on aura : CC −1 AC −1 C

base β des ui . Diagonalisation des matrices symétriques : Une matrice A symétrique est toujours diagonalisable dans une base de vecteurs propres. Si une matrice A est diagonalisable et si on dispose de la matrice de passage P et de la matrice diagonale D on a : A =PDP-1, Si bien que les puissances nième de A sont données par : An = PDnP-1 Base canonique : On appelle base canonique de Rn la famille β=e1, e2, e3, …,en dont les vecteurs ei sont donnés par : e1 = 1, 0, …, 0, e2 = 0,