Diagonale principale

maths.txt Propriétés des matrices triangulaires[modifier] Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une matrice diagonale. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures (respectivement supérieures) est une matrice triangulaire inférieure (respectivement supérieure). Plus généralement l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) est une sous algèbre (non commutative) de Mn(K), ensemble des matrices de taille n a valeur dans le corps K. La transposée

matrice est sym´etrique r´eelle donc est diagonalisable en base orthonorm´ee, c’est-`a-dire il existe une base orthonorm´ee de E dans laquelle la matrice de f ◦ f est diagonale avec pour ´el´ements diagonaux les valeurs propres de f ◦ f . Si les valeurs propres de f ◦ f ´etaient toutes nulles, on en d´eduirait que cette matrice diagonale serait la matrice nulle et donc que l’endomorphisme f ◦ f de E serait nul. Or f est suppos´e non nul, donc il existe x ∈ E tel que f (x) = 0, donc f ◦ f (x) = 0 puisque

de A, (concat´enation des vecteurs colonnes de A) coefficient d’ordre i dans l’indexation lin´eaire coefficients diagonaux de A `res Matrices particulie zeros(m,n) ones(m,n) eye(n) diag(x) magic(n) rand(m,n) randn(m,n) matrice nulle de taille m,n matrice de taille m,n dont tous les coefficients valent 1 matrice identit´e de taille n matrice diagonale dont la diagonale est le vecteur x carr´e magique de taille n matrice de taille m,n `a coefficients i.i.d.de loi uniforme sur [0

n'est pas obligatoire. Si n = m, la matrice est appelée matrice carrée. Quelques matrices carrées particulières (Exemples avec n = 4) Matrice unité | | Parfois notée In  n est la dimension de la matrice  (soit I4 dans cet exemple) | Matrice diagonale | | notée diag(Dii) | Matrice triangulaire supérieure  (Upper triangular matrix, U) | | | Matrice triangulaire inférieure  (Lower triangular matrix, L) | | | Une matrice carrée A est dite symétrique si : Aji = Aij pour tout i différent

Différents types de matrices. a) Les matrices carrées N = p (même nombre de colonne, même nombre de ligne b) La matrice diagonale D a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3 La diagonale c’est quand I = J D est une matrice carrée diagonale. c) Une matrice d’identité d’ordre I I3= 1 0 00 1 00 0 1 « 1 » sur la diagonale neutre pour le produit de matrice. I est une matrice carrée AI = IA = A d) Matrice triangulaire * Triangulaire supérieure

. . . .. .. . .  est dite  0  an,n 0  .  .  .  matrice triangulaire inférieure. ··· 0 ··· ··· 3 Lorsque ai,j diagonale.  a1,1    0 = 0 pour tout i = j, la matrice A =   .  . . 0 .. .. . . .. .. 0 . .  est dite  0  an,n .  .  .  matrice ··· 4 La matrice diagonale dont tous les coefcients : a1,1 = a2,2 = · · · = an,n = 1. I. Elhattab (ENCG) Matrices 2012 - 2013 6/9 Opérations sur les matrices Opérations

de a. et de b. que : e e µ 0 est valeur co-propre de A si et seulement si µ 2 est valeur propre de AA. I.5. Cas d’une matrice triangulaire sup´rieure. e a. Soit A triangulaire sup´rieure de diagonale donc de spectre (λ 1 , λ2 , .. ., λn). Classiquement la matrice AA est e triangulaire sup´rieure de diagonale donc de spectre (|λ 1|2, |λ2|2, . .., |λn|2). Ainsi si λ est valeur propre de A alors e |λ|2 est valeur propre de AA. D’apr`s 4. ci-dessus, |λ| est valeur co-propre de A, donc λ ´galement d’apr`s

sens : DN=(P-1M2P)P-1MP ⇔DN=P-1M3P=ND Les matrices N et D commutent. b. Soit Nabcd, Montrons que N est une matrice diagonale On sait que ND=DN Alors abcd1002α-1=1002α-1abcd On obtient le système suivant : a=ab2α-1=bc=c2α-1d2α-1=d2α-1⇔ a=ab2α-2=0c2α-2=0d2α-1=d2α-1 On constate que si 2α-2≠0⇔α≠1 Alors b=c=0 donc N=a00d, la matrice est donc diagonale. 3. Soit N2=D Alors a200d2= 1002α-1 On obtient le système suivant : a2=1 d2=2α-1 On a donc a=1 ou a=-1

c’est la matrice diagonale (4) La matrice du produit scalaire défini , 2 1 1 c’est la matrice 1 2 1 . 3 2 1 1 2 , 2 1 1 2 2 2 1 2 3 2 1 c’est la matrice . 2 1 1 2 1 3 . 1 Définition : (Matrice symétrique définie positive) Une matrice symétrique est dite définie positive si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. Exemples : (1) La matrice identité est une matrice symétrique définie positive. (2) Une matrice diagonale est une matrice symétrique

tourisme basé sur le patrimoine culturel et historique, c'est le tourisme vert. Ces zones qui se gagnent des habitants se situe dans l'Ouest et le Midi Méditerranéen. Les géographe appelaient la zone ou les espaces ruraux qui étaient en déclin la diagonale du vide, mais de grand changement ont été effectués et la remette en cause. La zone des espaces ruraux en déclin part toujours des Ardennes, mais ne va que jusqu’au Nord du massif Central en passant par une partie de la Champagne et le massif