Diagonale principale

voir lexique) depuis plusieurs décennies. Certaines régions apparaissent malgré tout marginalisées au sein des dynamiques européennes. Ex : l´axe des faibles densités allant de la Meuse (Nord-Est) aux Landes (Sud-Ouest), longtemps appelé la “diagonale du vide”, des régions du Massif Central. Doc 1 p 101 : Parmi les efforts de désenclavement de l´Etat, on peut citer l´A75 (Viaduc de Millau) construite pour redynamiser le Massif Central. Autre ex : voir doc 2 p183. Toutefois, le développement

une norme matricielle sur Mn (C). e ii. Montrer qu’il existe une constante CQ telle que 1 ∀A ∈ Mn (C) N∞ (A) NQ (A) CQ N∞ (A). CQ 2. Soit T ∈ Mn (C) une matrice triangulaire sup´rieure et ε > 0 donn´. e e Montrer que l’on peut choisir une matrice diagonale DS ∈ Mn (C) S = (s, s2 , s3 , . . . , sn ) ∈ Cn o` s est un r´el strictement positif telle que : u e NDS (T ) < ρ(T ) + ε. ´ Etant donn´s A ∈ Mn (C) et ε > 0, montrer qu’il existe une norme matricielle Nε telle que e Nε (A) < ρ(A) + ε. 3. En d´duire

(λ).M se déduit de la matrice M. 8. Soit M une matrice carrée d’ordre n inversible. Montrer qu’il existe une matrice B, produit de matrices B i , j (λ) (i j) telle que le produit B.M soit une matrice triangulaire supérieure dont les éléments de la diagonale sont tous égaux à 1 sauf celui situé à la dernière ligne et la dernière colonne dont on donnera la valeur. 9. Déduire de ce qui précède que tout élément de SL(E) est la composée d’une ou plusieurs transvections.. 10. Déterminer les éléments de SL(E)

indépendents, associés à n valeurs propres λi ∈ K, non nécessairement distinctes ; cela est aussi équivalent à dire que A = P DP −1 où P est une matrice dont les colonnes sont formées par les vecteurs propres de A et D est une matrice diagonale ayant sur la diagonale les valeurs propres de A. Alors, les n fonctions t → eλi t Vi sont, à chaque instant t, linéairement indépendent et forment donc une base pour S0 . Cela implique que n n (a) La solution générale de Y ′ (t) = AY (t) est Y (t) = i=1

supérieur ou égal à 0 ». I. Exercice préliminaire 2 1   1   1. Soit la matrice Γ =  − 2 − 1 − 1  de M3 ( ! ) , on pose H = t Γ Γ .  −1 −1 − 2   Diagonaliser la matrice H et déterminer une matrice P de O 3 ( ! ) et une matrice diagonale D à termes tous positifs telles que D2 = P−1 H P . 2. On pose S = P D P−1 ∈ S 3+ ( ! ) , montrer que la relation Γ = U S définit une matrice U ∈ O 3 ( ! ) et calculer cette matrice. II. Calcul de la distance de A à S n ( ! ) et à An

si A = (ai , j ) , les coefficients (a1,1, a2,2 , … , an,n) sont les coefficients diagonaux. 1 ≤ i, j ≤ n • Matrice diagonale : A est une matrice diagonale si ses coefficients en dehors de la diagonale sont tous nuls. ∀(i, j ) ∈ [|1, n |], i ≠ j Exemple : ( ai , j ) = 0 a1,1 A= 0 an , n α1 = 0 αn 0 Autres exemples : 0 0( n , n ) est diagonale. 1 In = 0 1 est diagonale 0 Les coefficients de In sont les (ai , j ) = ai , j = 1 si i = j ai , j =

n∈IN Peut-on parler de : n (6A+B+C) n entier négatif , Corrigé 1) Les trois matrices sont diagonales, il suffit de reporter les calculs sur les termes diagonaux homologues des trois matrices : −5 0 2A-3B+4C = 0 55                 Corrigé Le déterminant d’une matrice diagonale est égal au produit des termes diagonaux : 1 0 det(A-B+2C)= = 22 0 22 det((A-B+2C) )=(det(A-B+2C)) 3 = 22 =10648 3 3 Corrigé 2) De même

IV- Noyau et image d’une application linéaire V- Applications linéaires injectives et surjectives VI- Rang d’une application linéaire Chapitre 3 : Matrices I- Généralités (définition, matrices particulières) II- Matrices carrées 1. Matrice diagonale, Matrice triangulaire 2. Matrice symétrique, Matrice antisymétrique III- Opérations sur les matrices 1. Addition, Multiplication, Puissance 2. Propriétés de l’ensemble des matrices 3. Matrice inversible IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan

Rédaction 1 : Une lettre Granollers, le 16 Octobre 2013 Salut Anne, Je t’écris pour savoir comment tu vas et pour te dire que je suis inscrite à une École de langues pour apprendre le français. L’École est très loin de la ville où j’habite (Granollers). L’École de langues se place en Barcelone, concrètement dans le quartier Drassanes. Pour arriver là, je prends le train depuis Granollers jusqu’à Passeig de Gràcia. Quand je suis en Passeig de Gràcia je prends le métro (la ligne verte), il y a

taille n×n. Ex : 1 4 5 3 est une matrice carrée 2×2. c) Matrice diagonale Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments sont nuls sauf éventuellement les ai,i (qui sont situés sur une diagonale). Autrement dit : ai,j = 0 si i j. Ex : 1 0 0 0 5 0 0 0 3 − est une matrice diagonale. d) Matrice unité (ou identité) Une matrice unité est une matrice diagonale qui n’a que des 1 sur la diagonale (ai,i = 1). La matrice unité de taille n×n est parfois notée In. Ex :