Diagonalisation

propre de w est une racine de P. Par conséquent, le poynôme P admet une infinité de racines et c’est donc le polynôme nul. 128 Chap. 5. Réduction des endomorphismes 5.1.5 Diagonalisation et polynôme annulateur Ce qu’il faut savoir Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). • Critère de diagonalisation : l’endomorphisme u est diagonalisable si et seule- ment si u admet un polynôme annulateur non nul, scindé et à racines simples. • Si u est diagonalisable et F est un sous-espace

spectre σ(f ) de l’op´rateur f . e ee e 5.2.2 Op´rateurs sur un espace de Hilbert. Th´or`me spectral. e e e Les physiciens ont tendance ` employer le mot op´rateur plutˆt que endomorphisme de V . La a e o formule (5.3) exprime donc la diagonalisation d’un op´rateur diagonalisable. L’application d’un op´rateur e e a ` un ket se note en juxtaposant simplement les symboles. L` o` un math´maticien noterait f (v), un a u e physicien notera f |v . Une classe particuli`rement importante d’op´rateurs

Le vecteur ui ̸= 0 est un vecteur propre de A associ´ ` la valeur propre λi si e ea Aui = λi ui . Propri´t´ 2.9 Si A est une matrice J × J r´elle sym´trique, il existe J vecteurs propres norm´s et orthoe e e e e gonaux. 19 Th´or`me 2.2 (de diagonalisation) Soient A une matrice sym´trique (J × J), et ui , λi , i = 1, . . . , J, ses e e e valeurs propres et vecteurs propres associ´s. Soient la matrice orthogonale Γ dont les colonnes sont les J e vecteurs propres de A, et la matrice diagonale Λ ayant

puissance d’une matrice. - Appliquer les concepts de réduction des formes quadratiques, en utilisant la méthode de Gauss. Mots-Clés Endomorphisme, Diagonalisation, Triangulation, Forme bilinéaire, Forme Quadratique, Orthogonalité, Espaces Euclidiens. Pré-requis Cours d’Algèbre 1. Eléments de Contenu - Réduction des endomorphismes (Diagonalisation, Triangulation, Applications : exponentielle de matrices, calcul de puissance de matrices, etc.). - Formes bilinéaires, formes quadratiques (Formes

soit solution de (S). 1 −1 y(t) En reportant, et en simplifiant, on obtient : u (t) = 1 −3t t e + e−4t 3 3 ; v (t) = 1 −6t 2 −7t e − te . 3 3 Par calcul de primitives, on obtient u(t) et v(t), puis x(t) et y(t). • Diagonalisation de A Avec la matrice de passage P = P −1 A P = D = 2 1 1 −1 et P −1 = 1 1 , on peut écrire : 1 −2 4 0 . 0 7 En posant X (t) = PU (t) avec U (t) = © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. 1 3 u(t) v(t)

matrice Pk est diagonalisable, puisqu’elle a N + 1 valeurs propres distinctes. Elle s’écrit sous forme factorisée en : Pk = Qk Dk (Qk )−1 où (Qk ) est la matrice des vecteurs propres de Pk dans la base canonique de RN +1 . Cette propriété de diagonalisation est très utile, puisqu’elle permet de calculer simplement la fonction de partition ZA k . En effet, on a la propriété fondamentale : k k ZA k = P (XT = N |X1 = 1) = PT −1 (1, N ) (confer partie 2) k Pour calculer ZA k , on voit alors qu’il

∆u2I4 I1 M1.M3 M2 ∆u1I2= I3 | La phase essentielle du calcul réside dans la diagonalisation de la matrice, d’ordre p. La 2ème technique est la typologie. Elle est très utilisée mais nécessite aussi des spécialistes. On a n objets ou individus pour lesquels on a les mesures de p variables ; le principe est qu’il faut constituer des

réelles. On montre par recurrence sur n que A est diagonalisable sur Rn : En e¤et pour n = 1; l’ assertion est triviale. La preuve de l’ assertion est vraie au rang n 1 =) l’ assertion est vraie au rang n et se fait comme pour le théorème de diagonalisation des endomorphismes normaux du fait que 2 R =) = : 2) A étant la matrice d’ une forme quadratique, symétrique réelle donc diagonalisable en b:o:n ; par conséquent les sous espaces propres de A sont orthogonaux pour : Montrons que les sous espaces

Construisons maintenant un mélange statistique, avec probabilité 1/2 pour les états |a et |b : 1 1 |a a| + |b b| 2 2 3 1 = ... = |0 0| + |1 1| = ρ!!! 4 4 Le nouveau mélange statistique correspond au précédent. Ceci est possible car la diagonalisation de la matrice densité est totalement indépendante du changement de base dans l’espace de Hilbert : la transformation unitaire qui diagonalise ρA ne correspond donc pas au choix d’une base dans HA . Physiquement, cela veut dire qu’il n’existe

(“l’´l´ment de longueur”) e ee ds2 = gµν xµ xν (5.52) peut ˆtre positive, n´gative ou nulle6 . Comme la matrice gµν est sym´trique, on peut la diagonaliser par e e e une transformation orthogonale en un point donn´ xµ ; ´videmment la diagonalisation ne sera en g´n´ral e 0 e e e pas valable en un autre point. On peut ensuite effectuer une dilatation sur chacune des quatre coordonn´s e de fa¸on a se ramener a la situation de l’espace- temps plat : gµν (x0 ) → ηµν . Un nouveau changement