Diagonalisation

- Rang et noyau d’une application linéaire, théorème du rang - Représentation matricielle, matrices inversibles. - Calcul des déterminants. - Application à la résolution des systèmes linéaires - Calcul de valeurs propres, vecteurs propres et diagonalisation. Analyse 2 Volume Horaire : 45 heures : 22,5h Cours + 22,5h TD Objectif : Le but de ce cours est essentiellement la généralisation de quelques concepts introduits en analyse comme les intégrales généralisées, les séries numériques, les séries

Cours de Mécanique quantique Filiére SMP-Semestre 5 Université Mohammed V Faculté des sciences Mohammed Loulidi 1Table des matières Contents 4 Préambule 4 1 Postulats de la mécanique quantique 5 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Ennoncé des postulats de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Description de l’état dynamique d’un système . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Description des grandeurs physiques . . . . . . . .

des notions qui ne seront utilisées que bien plus tard (p.ex. diagonalisation) et par certains parcours uniquement (MASE et SCC) • • • • • • • • • • • Représentation matricielle d'une application linéaire Généralités sur les matrices. Opérations (produit par un scalaire, produit et addition de matrices, addition et produit par blocs) Rang d'une matrice Transposition Matrices carrées Matrices inversibles Diagonalisation des matrices Écriture matricielle d’un système linéaire Résolution

0g de dimension 3. F4 = f(x y z t) j x = y = z = tg de dimension 1. pour b : E0 = f(x y z t) j x = z y = tg de dimension 2. E2 = f(x y z t) j x = ;z y = ;tg de dimension 2. 3. On a F4 E0 et E2 F0 . On peut ainsi choisir comme base commune de diagonalisation : 011 011 011 011 v1 = B 1 C 2 F4 v2 = B ;1 C 2 F0 v3 = B ;1 C 2 F0 v4 = B ;1 C 2 F0 @1A @1A @1A @ ;1 A 1 ;1 ;1 1 Exercice 2-5 Soit (Pn ) une suite de fonctions de nie par P0 (x) = 1 P1 (x) = ;x et pour tout n 0 : Pn+2 (x) = ;xPn+1 (x) ; Pn

λ est racine d'ordre m λ de PA , on dit que λ est valeur propre d'ordre m λ. On a toujours 1 dim(E λ ) m λ où E λ est l'espace propre associé. • Cas où PA est scindé On a alors : n n trA = k=1 λk et det A = k=1 λk . 2. Diagonalisation Soit E de dimension finie. 2.1 Définitions Un endomorphisme f ∈ L(E) est diagonalisable s'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale, c'est-à-dire s'il existe une base de E formée de vecteurs propres de f.

λ est racine d'ordre m λ de PA , on dit que λ est valeur propre d'ordre m λ. On a toujours 1 dim(E λ ) m λ où E λ est l'espace propre associé. • Cas où PA est scindé On a alors : n n trA = k=1 λk et det A = k=1 λk . 2. Diagonalisation Soit E de dimension finie. 2.1 Définitions Un endomorphisme f ∈ L(E) est diagonalisable s'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale, c'est-à-dire s'il existe une base de E formée de vecteurs propres de f.

est ramené du calcul d’une puissance p-ième au calcul de A2 et à des additions de matrices. Ainsi, par exemple, X 5 = (−X 3 + 2X 2 + 2)(−X 2 − 2X − 4) + 10X 2 + 4X + 8,   12 68 16 donc A5 = 10A2 + 2A − 8I = 10 56 14. 4 20 4 2.2 diagonalisation 2 Réduction des matrices proposition : si une matrice A carrée de taille n admet une base formée de vecteurs propres, si P est la matrice formée par ces vecteurs, alors P −1 AP est une matrice diagonale, dont les coefficients sur la diagonale

d’une mat. triangulaire par blocs 11 15. Réduction des Endomorphismes 11 15.1. Valeurs propres et vecteurs propres . 11 15.2. Polynôme caractéristique . . . . . . . 15.3. Diagonalisibilité . . . . . . . . . . . . 11 15.4. Diagonalisibilité et diagonalisation . 11 15.5. Triangularisation . . . . . . . . . . . 11 15.6. Puissances d’une matrice . . . . . . . 11 11 11 12 12 . . . . . . 5. Structure de Corps 5.1. Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Corps usuels . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . 10 9 13. Réduction des Endomorphismes 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. Valeurs propres et vecteurs propres . Polynôme caractéristique . . . . . . . Diagonalisibilité . . . . . . . . . . . . . Diagonalisibilité et diagonalisation . . Triangularisation (ou trigonalisation) Puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 24 24 24 24 25 4. Arithmétique de 4.1. 4.2. 4.3. 10 Multiples et diviseurs . . .

logique propositionnelle Programme : Modèles universels de calcul : machines de Turing, systèmes de Thue, fonctions récursives, lambda calcul. Thèse de Church. Théorie de la calculabilité : décidabilité et semi-décidabilité, machine universelle et diagonalisation, réductions, problème de l'arrêt, théorème de Rice, théorème de Gödel, complexité de Kolmogorov. Théorie de la complexité : temps/espace de calcul, classes P et NP, réductions polynomiales, exemples de problèmes NP-complets, théorème de Cook,