Diagonalisation

[3MAO] qui tient compte des rapports de force directs et indirects entre acteurs (Ri*) est transformée en une matrice à valeurs positives avant d’être normalisée. Le calcul de l’AFC est appliqué à la matrice [3MAO] normalisée (calcul de la trace, diagonalisation, calcul des pourcentages d’inertie des acteurs et des objectifs, calcul des coordonnées sur le plan des acteurs et des objectifs). 56 Les clés de lecture du plan AFC qui figurent dans l’encadré ci-dessus sont extraites de l’ouvrage de J. De Lagarde

endomorphisme autoadjoint positif, d´fini e positif. Endomorphisme autoadjoint associ´ ` une forme bilin´aire ea e sym´trique (ou ` une forme quadratique) sur un espace e a euclidien E ; r´duction de cette forme dans une base e orthonormale de E. Diagonalisation d’une matrice sym´trique e au moyen d’une matrice orthogonale. 3.4.3 Espaces pr´hilbertiens complexes, espaces hermitiens e L’objectif est triple : ´ – Etendre au cas du corps des nombres complexes la notion de produit scalaire, de norme

D´finition 1.26 Le vecteur ui = 0 est un vecteur propre de A associ´ ` la valeur propre λi si e ea Aui = λi ui . Propri´t´ 1.9 Si A est une matrice J × J r´elle sym´trique, il existe J vecteurs propres norm´s et orthoe e e e e gonaux. Th´or`me 1.2 (de diagonalisation) Soient A une matrice sym´trique (J × J), et ui , λi , i = 1, . . . , J, ses e e e valeurs propres et vecteurs propres associ´s. Soient la matrice orthogonale Γ dont les colonnes sont les J e vecteurs propres de A, et la matrice diagonale Λ ayant

l’apprentissage, on doit ˆtre capable de diagonaliser dans IR une a e matrice (quand c’est possible) en compl`te autonomie, mais on doit, de plus, avoir e acquis des bases suffisamment solides pour appr´hender sereinement des prolongements e vers la diagonalisation dans C et la triangularisation. I Pour atteindre l’objectif principal, on fixe deux ´tapes interm´diaires : maˆ e e ıtriser le calcul vectoriel en dimensions 2 et 3, et acqu´rir une bonne connaissance du calcul e matriciel. L` aussi, on esp`re

On voit que la formule précédente s’applique encore. Exemple 2   3 1 1 À l’aide de la matrice J définie précédemment, calculer les puissances successives de M = 1 3 1. 1 1 3 Penser à vérifier le résultat obtenu pour n = 2 et n = 3. 3 – Par diagonalisation Cette technique n’est pas explicitement au programme de première année mais elle sera très utile par la suite, la méthode est donc à connaître. Théorème B.20 Soit A, B ∈ Mn ( ) et P ∈ GLn ( ) telles que A = P −1 BP. Alors, pour tout p ∈ , Ap =

famille orthonormale de E Projecteur orthogonal Ker p = (Im p)⊥ Im p = (Ker p) ⊥ p : projecteur orthogonal sur Im p parallèlement à Ker p 24 [1] Mathématiques Attention : un projecteur orthogonal n’est pas une application orthogonale. Diagonalisation d’une matrice symétrique ∀ S ∈ Sn (R), ∃(Ω, D ) ∈ On (R) × Dn (R), S = ΩDΩ −1 Sn (R) : ensemble des matrices symétriques de R On (R) : groupe orthogonal Dn (R) : ensemble des matrices diagonales de R Valeurs propres de matrices symétriques Les

connaissances Informer Comprendre Maîtriser PREREQUIS N° des fiches pédagogiques antérieures constituant des prérequis Connaître les bases du calcul matriciel. PROGRAMME Espaces vectoriels sur R, bases, dimension. Opérations du calcul matriciel. Diagonalisation d’une matrice. Exemples d’application : systèmes d’équations, géométrie… Horaires X Modalités de l’évaluation 20% 40% 15% 25% C TD IO, IE, DS et TP TP Horaire obligatoire : Remarque générale Ce module est fournisseur pour les

: > s:=eigenvects(A) ; > vp:=op(3,s[1]) union op(3,s[2]) : # l’ens obtenu est une base de v.p. ; > P:=concat( op(vp) ) ; # op sert `a transformer l’ens en sequence ; > multiply( inverse(P), A, P ) ; # pour verifier Une application de la diagonalisation est la possibilit´e d’´ecrire An avec n symbolique, ce que ne sait pas faire MAPLE. Il suffit en effet de r´ecup´erer les ´el´ements propres P et D, et d’effectuer PD^n P^(-1), sachant que D^n se calcule `a vue. Par exemple, avec la matrice

diagonalisable puisque symétrique définie positive) et v1 , . . . , vd une base de vecteurs propres associés. Alors, on a d d u0k vk , u0 = k=1 u0k e−λk t vk . et u(t) = k=1 Autrement dit, la résolution du problème d’évolution (12.0.1) passe par la diagonalisation de la matrice A. Exemple 12.0.6. (Équation de la chaleur) On rappelle que l’équation de la chaleur est donnée (sans condition initiale ni condition aux limites) par : ∂t u − ∆u = 0 où t ∈ R+ ∗ et x ∈ Ω. Comparant avec le problème (12.0.1), on

euclidienne suppos´ e de rang q, le MDS est obtenu e e e ´ en ex´ cutant les etapes suivantes : e i. construction de la matrice A de terme g´ n´ ral −1/2dk , e e j ii. calcul de la matrice des produits scalaires par double centrage B = HAH , iii. diagonalisation de B = U∆U ; iv. les coordonn´ es d’une configuration, appel´ es coordonn´ es principales, sont les lignes de e e e 1/2 la matrice X = U∆ . Dans le cas euclidien, ACP et MDS sont directement connect´ s. e P ROPOSITION 5.6. — Soit Y la matrice des