Diagonalisation

orthogonaux. – si une valeur propre λ est de multiplicité k, il existe k vecteurs propres orthogonaux qui lui sont associés. – la concaténation de l’ensemble des vecteurs propres orthonormés forme une matrice orthogonale U . Comme U ′ = U −1 , la diagonalisation de A s’écrit simplement A = U ∆U ′ , où ∆ = diag(λ1 , . . . , λn ). Pour résumer, on dit qu’une matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormée. – tr(A) = ni=1 λi et det(A) = ni=1 λi . – rang(A) = nombre de valeurs propres λi

probabilités-statistiques, conçus, sans grande difficulté théorique, de telle sorte qu’un candidat sérieusement préparé soit en mesure d’aborder l’ensemble des questions. Mathématiques 148 PROGRAMME 1) Algèbre : réduction des endomorphismes, diagonalisation et trigonalisation, systèmes récurrents et différentiels, dualité, formes bilinéaires et quadratiques, orthogonalisation de Schmidt, formes hermitiennes et endomorphismes unitaires, produit mixte et produit vectoriel. 2) Analyse : espaces métriques

¿¾℄ 2) Mˆ eme raisonnemment, il faut et suffit que pour vp 1) Oui en diagonalisant et en r´earrangeant pour raisonner sur une matrice diagonale par blocs de taille 2. soit diagonalisable. On en d´ eduit que oui ssi de ¼ ou ¼. Diagonalisation § REDº ËÓ Ø ¾ ÅÒ ´Êµ Ø ÐÐ ½µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ¾µ ÓÒ Ð × Ö ÕÙ ×Ø ¾ ×Ø ÓÒ Ð × Ð ¸ Ú ÓÒ Ð × Ð º ¼ « ¬ ¬ « º  ºº ¬ ¦ Ö ¹Ö¾ ½ ℄ 1) Ê ¾ ´ etant diagonalisable dans o` u les É´ µ o`u Ñ Ò ºº º ¡ ¡ ¡ ¬½ ºº ºº º ºº º º ¬ ¡¡¡ ¬ « ¾

propres de A. Les noms anglais sont eigenvalues et eigenvectors... et on peut consulter l’aide en ligne. 2. Construire une matrice de passage qui rend A diagonale. 3. Calculer l’inverse de la matrice de passage. 4. Vérifier la diagonalisation en effectuant des produits matriciels. 5. En déduire limn→∞ An . 6. Le vérifier en calculant A100 directement. 10 2 • Matrices 2.3 Méthode de la puissance Rappel : Nous supposons que A ∈ Rn×n est diagonalisable dans R ou

at Thu Jul 14 16:29:56 +0200 2011 Trafic TCN1 TCN2 CO1 CO2 CO3 CU1 CU2 CU3 CU4 CU5 CU6 TR1 TR2 TR3 406 Gestion de production 6.2.2. Méthode de King1 La méthode de King est un algorithme de diagonalisation de matrice. Cette méthode consiste à créer la matrice des gammes, en indiquant par un 1 l’utilisation du poste par le produit, ou par un 0 ou un blanc, la non-utilisation. Pour le premier tableau (T1) on remplira la ligne « Poids » avec les puissances

colonne, égal à p. 3. On le vérifie à partir de l’expression de PF ou bien en utilisant le point 3 de la propriété 6.19. 4. Ceci a été démontré dans le paragraphe qui suit le corollaire 6.4. On peut le démontrer en utilisant les méthodes usuelles de diagonalisation d’une matrice. Comme PF est idempotente, toute valeur propre λ doit satisfaire PF x = λx. D’une 2 part, on a (comme pour toute matrice) PF x = PF (PF x) = PF λx = λPF x = λ2 x et d’autre part, comme PF est idempotente, on a aussi PF x = λ2 x.

mod´liser par de tels syst`mes, au e e e e moins en premi`re approximation. On sait d’autre part r´soudre compl´tement les e e e syst`mes ` coefficients constants, le calcul des solutions se ramenant ` des calculs e a a d’alg`bre lin´aire (diagonalisation ou triangulation de matrices). Dans toute la e e suite, K d´signe l’un des corps R ou C. e ½º ½º½º Ò Ö ÐØ × Ò Ø ÓÒ Un syst`me diff´rentiel lin´aire du premier ordre dans Km est une ´quation e e e e (E)  dY = A(t)Y + B(t)

résolvant le système (8.2.14) pour la valeur minimale de l’énergie ; c’est un vecteur propre approché de l’hamiltonien du système. L’équation (8.2.15) est équivalente à celle obtenue par diagonalisation de la matrice H représentée dans la base |wk d’ordre s. La variation linéaire est équivalente à une diagonalisation. Exercices 193 EXERCICES Exercice 8.1. Perturbation du premier ordre Démontrer que dans la formule (8.1.11) le coefficient cnn peut être choisi égal à zéro. Solution. Considérons

≥ 2. On a de nouveau une contradiction. (2) Écrivons T = D + N. Si T est inversible, D aussi, car il a les mêmes valeurs propres que T , et l’on peut écrire T = D(I + M) avec M = D−1 N nilpotent et MD = DM. Soit maintenant (u j ) une base de diagonalisation de D : D(u j ) = λ j u j . Soit μ j des complexes tels que λ j = eμ j et Δ ∈ L(Cd ) défini par Δ(u j ) = μ j u j pour 1 ≤ j ≤ n. Δ = P1 (D) est un polynôme en D et eΔ = D. Si maintenant ∞ log(1 + x) = k=1 (−1)k−1 k de f x = k ∞ ck

éventuelles entre les variables. Le seul énoncé de la méthode montre que l’on peut arriver à des méthodes très complexes sur le plan des calculs ou de la théorie mais cependant de mise en œuvre relativement simple. Les calculs sont basés sur des « diagonalisations de matrices ». Mais il existe des logiciels tout faits, il n’y a donc pas de difficulté de ce côté. Analyse factorielle type ACPN 7 10 9 3 X3 11 Y2 12 X1 14 13 15 Y1 Figure 10.8 Analyse en composante principale normée Y4 1 X2 4 6 8 2 5