Diagonalisation

attirer le regard mais aussi pour suggérer un jeu Chapitre 3 • La poésie • 149 de signification dépassant le sens commun. D’ailleurs, en général, le goût de Nerval pour l’ésotérisme se manifeste par ce choix de l’italique dont l’inclinaison, la diagonalisation des lettres, est déjà une métaphore des « glissements » possibles du sens. La ponctuation du sonnet permet, elle, d’en rendre plus claire la scansion. Les tirets, les points de suspension ou d’interrogation, les points-virgules et les deux points

de variance I. Si P est sym´etrique, idempotente et de rang p, alors u′ Pu est une variable χ2p ` a p degr´es de libert´e. D´ emonstration La matrice P admet une d´ecomposition en valeurs propres et vecteurs propres. En vertu du th´eor`eme de diagonalisation, si Λ repr´esente la matrice diagonale ayant les valeurs propres λi de P sur sa diagonale, et Γ est une matrice orthogonale contenant les n vecteurs propres de P, alors on peut ´ecrire : P = ΓΛΓ′ . La forme quadratique peut s’´ecrire u′ Pu =

. . . . . . . . . . . . . 54 3.2.5 Loi locale d’´evolution de la quantit´e de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.6 Loi d’´evolution du moment cin´etique - Sym´etrie du tenseur des contraintes . . . . . . 55 3.2.7 Diagonalisation du tenseur des contraintes - Repr´esentation de Mohr . . . . . . . . . . 56 3.2.8 Applications : contrainte tangentielle maximale - crit`ere de Tresca . . . . . . . . . . . 58 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

intervenir d’autres observables A, B, etc. et la base correspone dante d´pendra d’autres nombres quantiques |α, β, . . . , j, m . Heureusement, e l’existence de ces autres nombres quantiques n’affecte pas la diagonalisation ˆ ˆ e de J 2 et Jz qui seule nous int´resse ici. Une fois cette diagonalisation effectu´e, il nous incombera, pour un syst`me donn´, de diagonaliser les autres e e e observables de l’ECOC. Par exemple, dans l’´tude de l’atome d’hydrog`ne au e e ˆ ˆ chapitre suivant, l’ECOC

ondes ´lectromagn´tiques. Le niveau de connaissance des math´matiques requis est e e e le suivant: connaissance de l’analyse vectorielle (op´rateurs du gradient et th´or`mes e e e associ´s); ´quations diff´rentielles lin´aires; alg`bre lin´aire (diagonalisation d’une matrice, e e e e e e espace de fonctions). La technique de r´solution des probl`mes aux limites est expliqu´e e e e dans ces notes, ainsi que quelques fonctions sp´ciales (par exemple, les polynˆmes de e o Legendre). iii Table des

orthogonaux. – si une valeur propre λ est de multiplicité k, il existe k vecteurs propres orthogonaux qui lui sont associés. – la concaténation de l’ensemble des vecteurs propres orthonormés forme une matrice orthogonale U . Comme U ′ = U −1 , la diagonalisation de A s’écrit simplement A = U ∆U ′ , où ∆ = diag(λ1 , . . . , λn ). Pour résumer, on dit qu’une matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormée. – tr(A) = n λi et det(A) = n λi . i=1 i=1 – rang(A) = nombre de valeurs propres

Soient A = 2 3 , 2 1 D= −1 0 , 0 4 P = −1 3 1 2 et P ′ = 1 −2 3 . 5 1 1 1 1 1   1 1 1. Établir par récurrence l’expression de An , pour n entier naturel. 3.5. Soit A =   1 1 1 1. Calculer P P ′, D 2 , D 3 et P DP ′. (On a effectué une diagonalisation.) 2. En déduire l’expression de A2 et A3 , puis de An pour n ∈ N. 132 3.8. On considère les matrices : I= 1 0 0 1 , A= 1 1 0 1 , B= 0 1 . 0 0 1. Vérifier rapidement que A = I + B. 2. Calculer B 2 puis B n où n est un entier naturel. 3. Montrer

caractéristique de A, i.e. det(XIn − A), est tout simplement P (X). Supposons pour simplifier que P admette n racines réelles distinctes λ1 , . . . , λn (c’est-à-dire que toutes les valeurs propres de A sont réelles distinctes), alors on montre via une diagonalisation de A que les solutions de l’équation différentielle sont les fonctions de la forme : ϕ(x) = α1 eλ1 x + · · · + αn eλn x (α1 , . . . , αn ) ∈ Ên . Remarque. La méthode ci-dessus, qui permet de ramener un problème de degré n à un problème de degré

At ∞ 1 ( At ) i i =0 i ! =∑ 4. Par l’application du théorème de Cayley-Hamilton : - Calcul des valeurs propres - Développement de e At λi de A en un nombre fini de termes, égal à l’ordre n de la matrice A 5. Par diagonalisation de A : $ A = P −1 AP . Calculer à partir des valeurs propres λ i et des vecteurs propres Vi associés à la matrice A , la matrice diagonalisante P . $ $ At At At −1 $ - En déduire A puis e . Calculer enfin e = Pe P . - Soit TD 4

aléatoire Y défini par : Y = L−1/2 (X − µ) (8.36) où L−1/2 est la matrice diagonale des inverses des écart-types des variables Xj : L−1/2 = diag( Y a une distribution Y ∼ N(0, Γ) où Γ = L−1/2 ΣL−1/2 et Γ est la matrice de corrélation des X. 2. Diagonalisation de la matrice des corrélations Λ La théorie des valeurs propres permet de réexprimer la matrice Γ en Γ = QΛQ où Q (8.39) (8.38) 1 1 1 , ,..., ) σ1 σ2 σp (8.37) est la matrice p × p des vecteurs propres de Γ. Q est orthogonale c’est-à-dire telle