Diagonalisation

Etudiant 1 1 6 2 0 3 3 1 4 0 1 3 1 4 1 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 1 0 3 1 2 15 12 23 Inactif 5 3 3 3 0 2 0 0 0 1 0 0 17 Autre 1 0 1 2 1 1 0 1 0 0 0 1 8 Marge active 31 19 19 16 12 13 2 8 7 7 3 15 152 Résumé Présente le résultat de la diagonalisation de la matrice d’inertie. Le programme présente l’ensemble des axes (il y en a inf(n - 1, p - 1)). Les axes retenus pour l’analyse sont ceux ayant un écart-type (calculé). 2 La dernière ligne (total) permet de connaître l’écart à l’indépendance

– k2)λ2 + (ω12 + ω22)λ + ω12ω22 = 0 Le discriminant vaut ∆ = (ω12 + ω22)2 – 4ω12 ω22(1 – k2) ≥ 0. Les deux racines λ1 et λ2, étant de produit positif et de somme négative sont toutes deux négatives. Comme dans le cas du couplage mécanique, la diagonalisation de la matrice A nous ramène à un système de la forme : - 37 -  "  y1 = λ1y1   y2" = λ2y2 Ainsi λ = – (ω12 + ω22) ± ∆ = – Ω 2 < 0 avec Ω pulsation propre du système, à savoir : 2(1 – k2) Ω1 = (ω12 + ω22) + ∆ (ω12 + ω22) – ∆ et

o` u m ∈ IR (a) V´rifier que (A + I3 )(A − 2I3 ) = O3 . (I3 d´signe la matrice identit´ d’ordre 3 et e e e O3 la matrice nulle d’ordre 3). (b) D´duire de 1) l’expression de An pour n entier positif. e (c) Retrouver par la m´thode de la diagonalisation l’expression de An . e Exercice 41 1. (a) Montrer que l’int´grale g´n´ralis´e e e e e pour x ∈]0, + ∞[ et diverge pour x ∈] − ∞,0]. (b) Calculer Z 0 +∞ Z 0 +∞ exp (−xt) dt converge exp (−xt) dt pour x > 0. Z 0 +∞ 2. (a) Prouver

Applications linéaires en dimension finie 71 33 Matrices 76 34 Calcul matriciel 82 35 Équations linéaires 85 36 Déterminants 88 37 Calculs de déterminants 91 38 Rang de matrices 94 39 Projections 98 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . 40.4 Polynômes caractéristique . 40.5 Polynômes annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  x  ˙ ˆ Poles multiples      y =  0 0 0  0 −1 0  x 0 0 1  −1 1 2 x.  1 +  1/2  u 1/4  1 1 1 1 =− + + p(p + 1)(p − 1) p 2(p + 1) 2(p − 1) = Dans le cas o` G(p) poss` de un pˆ le d’ordre de multiplicit´ sup´ rieur a 1, la diagonalisation de A n’est pas u e o e e ` forc´ ment possible. Pour comprendre ce qui peut etre envisag´ dans cette situation, l’on peut tout simplement e ˆ e consid´ rer une fonction de transfert G(p) ne poss´ dant qu’un seul pˆ le λ de multiplicit´ n. L’on

vectoriels de dimension finie 32 Applications linéaires en dimension finie 33 Matrices 34 Calcul matriciel 35 Équations linéaires 36 Déterminants 37 Calculs de déterminants 38 Rang de matrices 39 Projections 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . . . 40.4 Polynômes caractéristique . . . 40.5 Polynômes annulateur . . . . . . 40.6 Endomorphismes de composition 40.7 Similitude . . . . . . . . . . .

3 e 1. Soit G un groupe tel que ∀x ∈ G, x2 = 1. Montrer que G est ab´lien. 2. Soit E un espace vectoriel de dimension finie et soit F une famille d’endomorphismes diagonalisables qui commutent tous entre eux. Prouver qu’il existe une base de diagonalisation commune ` tous les ´l´ments de F . a ee ← Aller ` la page pr´c´dente a e e Table des mati`res e Aller ` la page suivante→ a CHAPITRE 9. EXERCICES DE COLLES 9.11. SEMAINE 11 3. Soient n et p deux entiers distincts et K un corps de caract´ristique

utiles aux autres disciplines ı Programme ´ ´ ´ ´ ´ ` ´ • Equations differentielles : equations differentielles lineaires et non lineaires, systemes differentiels de petites dimensions. ´ • Calcul matriciel : produit de matrices, determinant, diagonalisation. ´ ´ ´ ´ • Fonctions de plusieurs variables : differentielle, derivees partielles, representations graphiques, exemples d’EDP. ´ ´ ´ • Calcul integral : calcul de primitives, calcul d’aires, integrales multiples, integrales curvilignes. Applications

par les vecteurs choisis dans B a n d'obtenir B0. F et G sont supplementaires. Les vecteurs pris dans B sont des vecteurs propres de u donc u(G) G. 173. (a) Si la dimension de E est egale a 1 tous les endomorphismes de E ont une base commune de diagonalisation. Supposons le resultat vrai pour tout espace vectoriel de dimension au plus egale a n. Soit E un espace vectoriel de dimension n + 1. Si tous les elements de D sont du type IdE ; 2 K la reponse est immediate. Supposons qu'il existe un element

absolue, séries alternées. ALGEBRE LINEAIRE - Calcul matriciel : Somme, produit, multiplication par un réel, les matrices carrées, inverse d’une matrice carrée, Détermination de l’inverse dans le cas des matrices carrées d’ordre 2 ou 3. - Diagonalisation Matrice associée à un endomorphisme de Rn dans une base, matrice de la composée, changement de base, matrices semblables , valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme ; définition des endomorphismes diagonalisables , interprétation