Diagonalisation

Calcul du d´terminant d’une matrice par e factorisation LU. Inversion d’une matrice. D´termination d’une fonction spline cubique. e R´solution approch´e de certaines ´quations e e e aux d´riv´es partielles. e e M´thode de Jacobi. e M´thodes de tri-diagonalisation de Givens et e de Lanczos-Householder. D´termination des fr´quences et modes de e e vibration d’une structure. MP 7 ` ´ ´ ALGEBRE ET GEOMETRIE Le programme est organis´ autour des concepts fondamentaux de l’alg`bre lin´aire : espaces

libres, basses dimensions d’un espace vectoriel) - Applications linéaires : définitions, exemples. Opérations sur les applications linéaires - Rang et noyau d’une application linéaire. Représentation matricielle Chapitre 4 : Diagonalisation - Notion de diagonalisation, valeurs propres, vecteurs propres ; propriétés et exemples - Polynôme caractéristique, sous espaces propres et caractérisation des matrices diagonalisables - Application : calcul de la puissance n-éme d’une matrice carrée

4A detM = det = det A A (−3)n (detA)2 . −3A 4A 0 A (∀k ∈ [[1, n]], Lk ← Lk − Ln+k ) et donc detM = det(A)det(−3A) = detM = (−3)n (detA)2 . 14 L’idée de l’étude de M qui suit vient de l’étude de la matrice de format 2, B = Une diagonalisation rapide amène à B = de format 2n définie par blocs par P = P−1 = 1 4 −2 1 −2In In 2 −1 0 × ×1 4 1 0 3 2In . Un calcul par blocs montre que P est inversible et que In 1 4 . 1 1 −1 2 . Soit alors P la matrice 1 2 −In 2In In 2In 1 4

n, bn ≠ ann). Par ailleurs, il est évident que y appartient à [0,1[. Cela est contradictoire avec le fait que f soit bijective, puisqu'alors, tout élément de [0,1[ serait de la forme d'un des xn. Cette démonstration est connue sous le nom de diagonalisation de Cantor. v) Signalons également une question étonnante. Peut–on trouver un ensemble E compris entre et , mais qui ne soit équipotent ni à , ni à ? On aurait seulement des injections de dans E et ne répond pas à la question puisqu'il est en

plusieurs vecteurs propres. Le sousespace propre associé à λ est le sous-espace vectoriel engendré par l’ensemble . des vecteurs propres associés à λ c’est à dire L’intersection de deux sous-espaces propres est toujours réduite au vecteur nul. 20. Diagonalisation Toute matrice carrée symétrique réelle est diagonalisable. Si A admet n valeurs propres distinctes dans une espace de dimension n, alors A est diagonalisable. Si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à la dimension de l’espace

4.1. Notion d'espace vectoriel euclidien. 4.1.1. Espace vectoriel R n. 4.1.2. Produit scalaire dans R n. 4.2. Approche euclidienne de la régression. 4.3. Régression orthogonale. Axe principal. 4.3.1. Introduction. 4.3.2. Définitions. 4.3.3. Diagonalisation de la matrice des variances-covariances. 4.3.4. Recherche des axes principaux. 4.3.5. Coordonnées factorielles et composantes principales. 4.3.6. Propriétés des composantes principales. 5. Régression multiple. 5.1. Position et résolution du

4.1. Notion d'espace vectoriel euclidien. 4.1.1. Espace vectoriel R n. 4.1.2. Produit scalaire dans R n. 4.2. Approche euclidienne de la régression. 4.3. Régression orthogonale. Axe principal. 4.3.1. Introduction. 4.3.2. Définitions. 4.3.3. Diagonalisation de la matrice des variances-covariances. 4.3.4. Recherche des axes principaux. 4.3.5. Coordonnées factorielles et composantes principales. 4.3.6. Propriétés des composantes principales. 5. Régression multiple. 5.1. Position et résolution du problème

(pour λi = ξi , R(ξi ) = 1/R(λi ) et donc [R(ξi ) < 0 ⇔ R(λi ) < 0] ), le processus solution de l’équation différentielle est stable. Le passage au processus discret associé se fait naturellement : on sait que xk = Qxk−1 avec Q = exp(AT ). La diagonalisation de Q fait intervenir la même matrice de changement de base que pour A : Q = P exp(ΛT )P −1 . Les valeurs propres de Q sont donc simplement (ν1 , . . . , νp ) telles que νi = exp(ξi T ) pour tout i ∈ {1, . . . , p}. Par analogie avec le cas continu

vecteurs propres. Le sousespace propre associé à λ est le sous-espace vectoriel engendré par l’ensemble . des vecteurs propres associés à λ c’est à dire L’intersection de deux sous-espaces propres est toujours réduite au vecteur nul. 20. Diagonalisation Toute matrice carrée symétrique réelle est diagonalisable. Si A admet n valeurs propres distinctes dans une espace de dimension n, alors A est diagonalisable. Si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à la dimension de

Déterminer la matrice d’un vecteur, d’une application linéaire, après un changement de base(s). Choisir une base adaptée à un problème donné. L’objectif est de donner une première approche de notions qui seront approfondies en seconde année. La diagonalisation des endomorphismes est hors programme. h) Rang d’une matrice Rang d’une matrice A, pour A ∈ Mn,p (K). Faire le lien entre divers aspects de la notion de rang. Le rang de A est défini comme le rang de ses vecteurs colonnes dans Kn ou, de manière