Distribution de Dirac

2.5 Conjugaison complexe . . . . . . . . . . . 1.2.2.6 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Représentation de Fourier des signaux d’énergie infinie 1.2.3.1 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.2 Spectre des signaux périodiques . . . . . . . 1.2.3.3 Cas particulier : peigne de Dirac . . . . . . . 1.3 Notion de filtre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Invariance . . . . . . . .

+ ω 02 y (t ) Question: Chercher La solution particulière sous la forme ??? 2. Excitation par déséquilibre dynamique en rotation Les machines tournantes constituent des sources de vibrations très courantes. De petites irrégularités dans la distribution des masses des parties en rotation causent des niveaux vibratoires importants. On schématise une machine de masse m comportant une masse m0 en rotation à une distance l de son centre. Un guidage sans friction autorise seulement un mouvement dans

2.5 Conjugaison complexe . . . . . . . . . . . 1.2.2.6 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Représentation de Fourier des signaux d’énergie infinie 1.2.3.1 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.2 Spectre des signaux périodiques . . . . . . . 1.2.3.3 Cas particulier : peigne de Dirac . . . . . . . 1.3 Notion de filtre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Invariance . . . . . . . .

2.5 Conjugaison complexe . . . . . . . . . . . 1.2.2.6 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Représentation de Fourier des signaux d’énergie infinie 1.2.3.1 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.2 Spectre des signaux périodiques . . . . . . . 1.2.3.3 Cas particulier : peigne de Dirac . . . . . . . 1.3 Notion de filtre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Invariance . . . . . . . .

général de signal peut être écrit sous la forme : x = f[v ; w] où : x : vecteur de dim. n v : vecteur de dim. m f : distribution w : vecteur de dim. p; indique que le signal peut être aléatoire en faisant apparaître une dépendance statistique (≡ en fonction du tirage, de l’épreuve). Une distribution généralise la notion de fonction. Exemple de distribution : l'impulsion de Dirac : δ (t ) = ∞ δ (t ) = 0 t=0 si sinon ∆ε (t ) δ (t ) = lim ∆ ε (t ) ε →0 δ (t ) - ε /2 0

Distributions, analyse de Fourier, ´quations aux d´riv´es partielles e e e F. Golse ii Table des mati`res e I Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3 6 11 11 21 24 28 33 35 35 38 45 50 53 53 55 55 61 67 70 70 77 78 81 83 86 87 87 89 98 1 Fonctions C ∞ ` support compact a 1.1 Calcul diff´rentiel : rappels et notations . . . . . e 1.2 Fonctions de classe C ∞ `

fonction de distribution conjointe de cet ensemble FX (t1 ),..., X (tk ) ( x1 ,..., xk )  Le processus X(t) est dit stationnaire au sens strict si FX (t1  ),..., X (tk  ) ( x1 ,..., xk )  FX (t1 ),..., X (tk ) ( x1 ,..., xk )   , k , t1 ,..., tk ENSI 2013 Processus aléatoire 15 Processus stationnaire (3/3)  Deux situations peuvent être distinguées:  pour k=1, FX (t ) ( x)  FX (t  ) ( x)  FX ( x) t, La fonction de distribution de premier ordre

finie2 , et de retrouver la série de F OURIER comme cas particulier de la transformée de F OURIER. Cette extension est possible en utilisant la théorie des distributions, et en particulier la distribution de D I RAC. La distribution de D IRAC est une distribution, et nous devrions faire alors appel aux résultats de la théorie des distributions. Ceci sort du cadre de ce cours, et peut-être du cadre d’un cours de traitement du signal, et nous nous contenterons ici d’une approche heuristique. Pour une

En e e effet, l’´nergie cin´tique moyenne 2 des particules du four est directement proportionnelle ` la temp´rature e e a e de celui-ci. Ainsi, la distribution des ´nergies cin´tiques ressemble ` une courbe en cloche autour de e e a cette moyenne. Comme les particules d’´nergie plus ´lev´es ´mettent dans les fr´quences plus hautes, la e e e e e distribution des ´nergies ´mises en fonction de la fr´quence a ce mˆme profil. e e e e Le spectre visible est dans la gamme de fr´quences 400–790 THz. On voit

.............................................................................................. 7 6. Calcul de l’irradiance sur une surface .................................................................................... 9 7. La fonction de distribution de la réflectance bidirectionnelle.............................................. 10 8. La réflexion spéculaire ......................................................................................................... 12 9. La réflectance biconique