Distributivité

(B • C) = (A + B) • (A + C) A=A A + A =1 A•A =0 A + (A • B) = A A • (A + B) = A (A + B) • (A + B) = A A + (A • B) = A + B Associativité Commutativité Idempotence Elément neutre Associativité Commutativité Idempotence Elément neutre ET Distributivité NON De Morgan OU exclusif A • B • C • ... = A + B + C + ... A + B + C + ... = A • B • C • ... A ⊕ B = (A + B) • (A • B) A ⊕ B = (A • B) + (B • A) A ⊕ B = (A • B) + (A • B) A ⊕ B = (A + B) • (A + B) Table 9 23 II.10 Ecritures

1 var 2 lignes 2 var 3 lignes 3 var 8 lignes 4 var 16 lignes n var 2n Théorème de DE MORGAN NON ( A ET B) = (NON A) OU (NON B) a . b = ā + b NON (A OU B) = (NON A) ET (NON B) a + b = ā . b Distributivité (A ET B) OU C = (A OU C) ET (B OU C) (a . b) + c = (a+c) . (b+c) (A OU B) ET C = (A ET C) OU (B ET C) (a+b) . c = (a . c) + (b . c) A | a | B | b | C | c | ET | . | OU | + | NON | ¯ |

∩ ܣ‬A • ‫ =ܣ ∪ ܣ‬A C. Associabilité • ‫ ∩ ܣ‬ሺ‫ܥ ∩ ܤ‬ሻ= ሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ ∩ ‫ܥ ∩ ܤ ∩ ܣ = ܥ‬ • ‫ ∪ ܣ‬ሺ‫ܥ ∪ ܤ‬ሻ= ሺ‫ܤ ∪ ܣ‬ሻ ∪ ‫ܥ ∪ ܤ ∪ ܣ = ܥ‬ Math L1 : Pré-Requis • ‫ܣ ∩ ܤ =ܤ ∩ ܣ‬ • ‫ ∪ ܤ =ܤ ∪ ܣ‬A 12 MATH Sciences Economiques L1 – Gaël ISOIRD D. Distributivité • ‫ ∩ ܣ‬ሺ‫ܥ ∪ ܤ‬ሻ= ሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ ∪ ሺ‫ܥ ∩ ܣ‬ሻ • ‫ ∪ ܣ‬ሺ‫ܥ ∩ ܤ‬ሻ= ሺ‫ܤ ∪ ܣ‬ሻ ∩ ሺ‫ܥ ∪ ܣ‬ሻ E. Absorption • ‫ ∩ ܣ‬ሺ‫ܤ ∪ ܣ‬ሻ= ‫ ܣ‬Car ‫ ⊂ ܣ‬ሺ‫ܤ ∪ ܣ‬ሻ • ‫ ∪ ܣ‬ሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ=A Car ሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ ⊂ ‫ܣ‬ • • തതതതതതത ‫ܣ = ܤ ∩ ܣ‬ഥ ∪ തതതതതതത ‫ܣ = ܤ ∪ ܣ‬ഥ ∩ ‫ܤ‬ഥ ‫ܤ‬ഥ

d’agriculteurs, artisans, professions libérales ou artistique se voient appliquer les règles du droit civil car ils vendent leur travail manuel ou un savoir. S’il y a un contrat entre un commerçant et un non-commerçant : acte mixte. Principe de la distributivité (s’applique en cas d’acte mixte). Il faut tenir compte de la personnalité du défendeur. Les règles applicables dépendent de la qualité du défendeur. Illustration en matière de preuve : L a preuve entre commerçant se fait par tous

= m=−∞ u[m]h[k − m]; Ainsi, la réponse état nul du système est y [k] = u[k] ∗ h[k]. 29 / 49 Systèmes linéaires en temps discret I Réponse état-nul Propriétés de la somme de convolution Commutativité : f1 [k] ∗ f2 [k] = f2 [k] ∗ f1 [k]; Distributivité : f1 [k](f2 [k] + f3 [k]) = f1 [k] ∗ f2 [k] + f1 [k] ∗ f3 [k]; Associativité : f1 [k] ∗ (f2 [k] ∗ f3 [k]) = (f1 [k] ∗ f2 [k]) ∗ f3 [k]; 30 / 49 Systèmes linéaires en temps discret I Réponse état-nul Propriétés de la somme de convolution (suite)

n = k, alors elle est vraie pour n = k + 1 En effet : (x + y) k+1 = (x + y) k (x + y) = ( 0 kC x k + 1 kC x k-1 y + 2 kC x k-2 y 2 + ...……+ i kC x k-i y i .....+ 1k kC  x y k-1 + k kC y k ) (x + y) En appliquant la propriété de distributivité, nous obtenons : = 0 kC x k+1 + 1 kC x k y + 2 kC x k-1 y 2 + ...……+ i kC x k– i+1 y i .....+ 1k kC  x 2 y k-1 + k kC x y k + 0 kC x k y + 1 kC x k-1 y 2 + 2 kC x k-2 y 3 + ...……+ i kC x k- i y i+1 .....+ 1k kC  x y k +

les justiciables devant les juridictions étatiques ou communautaires. Effet de primauté : consacré par l'arrêt COSTA – ENEL en 1964 de la CJCE. Droit Union Européenne > Droit interne. A) Les principes de distributivité ou de double applicabilité 1) La distributivité Distributivité : chaque entité régie une matière en particulier, on répartit les pouvoirs. C'est le cas en matière de concentration d'entreprises (fusion, acquisition, cession d'éléments, achats, création en commun…). Selon

prescrivent par dix ans si elles ne sont pas soumises à des prescriptions spéciales plus courtes" Section II : Le régime des actes commerciaux à l’égard d’une seule partie commerçante Paragraphe I : Le principe de distributivité Paragraphe II : Les exceptions au principe de distributivité Titre II : Les commerçants Chapitre I : La qualification de commerçant Section I : Le commerçant, personne physique Paragraphe I : La définition du commerçant Article L. 121-1 du Code de commerce : "Sont commerçants

Algorithmique 1 : Logique 62 Equivalences classiques • Commutativité - p∧q - p∨q équivalent à équivalent à q∧p q∨p • Associativité - p ∧ (q ∧ r) - p ∨ (q ∨ r) équivalent à équivalent à (p ∧ q) ∧ r (p ∨ q) ∨ r • Distributivité - p ∧ (q ∨ r) - p ∨ (q ∧ r) équivalent à équivalent à (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) Algorithmique 1 : Logique 63 Equivalences classiques (suite) • Lois de Morgan ¬ (p ∧ q) équivalent à (¬ p) ∨ (¬ q) ¬ (p ∨ q) équivalent

applications –  Rafales d erreurs. Code CIRC. 62 Corps de Galois et Opérations + et . d’un LFSR •  Un corps (K, +, x, “0”, “1”) est défini par: –  deux opérations internes : •  + “addition” et x “multiplication” –  associatives et distributivité –  Éléments neutres: “0” pour +, “1” pour x. –  Chaque élément u a un opposé pour + : -u u-u=“0” –  Chaque élément u non nul a un inverse pour x : u-1 u x u-1=“1” •  Les corps finis sont appelés “corps de Galois”. •  Exemple de corps: