Distributivité

juridique d'être cohérent. L'image qu'il emploie pour décrire cette hiérarchie des normes est celle d'une pyramide. constitution → Toute règle inférieure doit être conforme (ָ compatible) avec la norme qui lui est supérieure. Par un principe de distributivité, cela signifie que si les décrets sont conformes aux les lois et que les lois sont conformes à la Constitution, alors les décrets sont conformes à la Constitution. Il en résulte que la Constitution assure l'homogénéité du droit puisqu'il ne

vectoriel ou K-ev. Cette définition paraît longue et compliquée... en fait il suffit de retenir qu’il y a 8 propriétés à vérifier, 4 liées à l’addition (les propriétés de groupe commutatif) et 4 liées à la multiplication par un scalaire (élément neutre, distributivité “dans les deux sens”, associativité). Exemple 3.2 – Ensembles qui sont des espaces vectoriels : • R2 est un R-ev, • C2 est un C-ev et un R-ev, • M2 (K), M2,1 (K), M1,2 (K), Mn,p (K) munis de l’addition des matrices et de la multiplication par

1) Le semi-anneau de Boole (B, ∨, ∧, 0, 1), avec B = {0, 1} est complet. On a : ai = i∈I 1 s’il existe i ∈ I tel que ai = 1 ; 0 sinon. 2) Soit N = N∪{+∞}, avec a+(+∞) = (+∞)+a = +∞. Alors (N , min, +, ∞, 0) est un semi-anneau complet. La distributivit´ s’exprime par : e a + min{b, c} = min{a + b, a + c}. 3) Soit A un alphabet (voir chapitre 9) et A∗ l’ensemble des mots sur A. Alors (P(A∗ ), ∪, ·, ∅, ) est un semi-anneau complet. 4) Soit R = R∪{+∞, −∞}, avec (+∞)+(−∞) = +∞. Alors (R, min,

Effectuer une succession d’opérations donnée sous diverses formes (par calcul mental, à la main ou instrumenté), uniquement sur des exemples numériques. ● Écrire une expression correspondant à une succession donnée d’opérations. > CONNAISSANCES : Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition CAPACITÉS Sur des exemples numériques, utiliser les égalités k(a + b) = ka + kb et k(a – b) = ka – kb, dans les deux sens. ● *Sur des exemples littéraux, utiliser les égalités k(a + b) = ka +

normalement 1 • Logique combinatoire 1.2 Les opérateurs logiques ■ Propriétés des opérateurs ■ Propriétés usuelles Tableau P.14. Propriétés des opérateurs + et . a+b=b+a associativité a + (b + c) = (a + b) + c a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c distributivité a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c a + b ⋅ c = (a + b)(a + c) idempotence a+a=a a⋅a=a élément neutre a+0=a a⋅1=a élément absorbant a+1=1 a⋅0=0 La dualité des opérateurs permet de passer facilement d’une colonne à l’autre : (1, 0, non, +,

n’apparaissent pas en tant que tels dans la vie de tous les jours. Leur seule fonction est d’aider les apprentissages : – en mathématiques, le fonctionnement du système de numération décimale, les propriétés des opérations (commutativité, associativité, distributivité)… ; en langues, l’analyse des fonctions d’un mot dans une phrase (verbe, sujet, complément…) ; en méthodologie de la recherche, les types de registres que l’on utilise (le registre descriptif, le registre interprétatif, le registre prescriptif)

Th´or`me 17.4 : Propri´t´s de la multiplication e e e e Soient A ∈ Mn,p (K), B ∈ Mp,q (K) et C ∈ Mq,r (K). – Associativit´ : A × (B × C) = (A × B) × C e – ∀λ ∈ K, λ · (A × B) = (λ · A) × B = A × (λ · B) Si A ∈ Mn,p (K) et B,C ∈ Mp,q (K), on a – Distributivit´ : A × (B + C) = A × B + A × C e Th´or`me 17.5 : Produit et transpos´e e e e Soit A ∈ Mn,p (K) et B ∈ Mp,q (K). Alors t u v (AB) = t B t A ´ Th´or`me 17.6 : Ecriture matricielle d’une application lin´aire e e e u Soit une application lin´aire

17.4 : Propri´t´s de la multiplication e e e e Soient A ∈ Mn,p (K), B ∈ Mp,q (K) et C ∈ Mq,r (K). – Associativit´ : A × (B × C) = (A × B) × C e – ∀λ ∈ K, λ · (A × B) = (λ · A) × B = A × (λ · B) Si A ∈ Mn,p (K) et B,C ∈ Mp,q (K), on a – Distributivit´ : A × (B + C) = A × B + A × C e Th´or`me 17.5 : Produit et transpos´e e e e Soit A ∈ Mn,p (K) et B ∈ Mp,q (K). Alors t (AB) = t B t A ´ Th´or`me 17.6 : Ecriture matricielle d’une application lin´aire e e e u Soit une application

17.4 : Propri´t´s de la multiplication e e e e Soient A ∈ Mn,p (K), B ∈ Mp,q (K) et C ∈ Mq,r (K). – Associativit´ : A × (B × C) = (A × B) × C e – ∀λ ∈ K, λ · (A × B) = (λ · A) × B = A × (λ · B) Si A ∈ Mn,p (K) et B,C ∈ Mp,q (K), on a – Distributivit´ : A × (B + C) = A × B + A × C e Th´or`me 17.5 : Produit et transpos´e e e e Soit A ∈ Mn,p (K) et B ∈ Mp,q (K). Alors t (AB) = t B t A ´ Th´or`me 17.6 : Ecriture matricielle d’une application lin´aire e e e u Soit une application

sur F ne jouissent pas des mêmes propriétés que sur R. La commutativité est satisfaite par l’addition (c’est-à-dire fl(x + y) = fl(y+x)) ainsi que par la multiplication (fl(xy) = fl(yx)), mais d’autres propriétés telles que l’associativité et la distributivité sont violées. De plus, 0 n’est plus unique. En effet, affectons à la variable a la valeur 1, et exécutons les instructions suivantes : >> a = 1; b=1; while a+b ~= a; b=b/2; end La variable b est divisée par deux à chaque étape tant que la somme