Distributivité

matrice C de taille n × q définie par Cij = colonne j de B. Aik Bkj , i.e. le produit de la ligne i de A par la k=1 Théorème. Soient A, B et C trois matrices de dimensions compatibles. Alors : • C(A + B) = CA + CB (distributivité à gauche) ; • (A + B)C = AC + BC (distributivité à droite). Remarque. Attention ! l’anneau des matrices n’est pas intègre, i.e. il ne vérifie pas le théorème du produit nul. 1 = (0) et pourtant aucun des deux facteurs n’est une Voici un exemple tout bête : 0 1 0 matrice

⁄AEù◊⁄ABù = ÷2 ¥ 1 ¥ cos = 1 (ou par projec4 3p tion) ; ⁄AEù◊⁄ADù = ÷2 ¥ 1 ¥ cos = – 1; 4 d’où ⁄AEù◊⁄ABù + ⁄AEù◊⁄ADù = 0. 2. ⁄ABù + ⁄ADù = ⁄ACù, d’où ⁄AEù◊(⁄ABù + ⁄ADù ) = ⁄AEù◊⁄ACù = 0 car les vecteurs ⁄AEù et ⁄ACù sont orthogonaux. On retrouve la distributivité du produit scalaire sur la somme des vecteurs. 32 a) ⁄AEù◊⁄ADù = (⁄AGù + ⁄GEù )◊(⁄AGù + GDù ) ⁄ = 1 + 0 + 0 – 9 = – 8. Ù on a alors BAC ª 180 – 2 ¥ 53 ª 74°. 27 a) ABù(– 8 ; 12), ACù(6 ; 4) ; ⁄ABù◊⁄ACù = 0 ; ⁄ ⁄ les vecteurs ⁄ABù et ⁄ACù

+4 e , x∈R 3 3. P = 5 sin2 (x) cos(x) dx. La fonction x → 5 sin2 (x) cos(x) est continue sur R donc primitivable sur R. On a 5 t3 sin3 (x), x ∈ R t2 dt 5 P = 5 3 t=sin(x) 3 t=sin(x) g(x) = sin(x) = t Dg(x) = cos(x) 1 − cos(2x) puis, apr`es distributivit´e, utiliser les Remarque : on aurait pu remplacer sin2 (x) par 2 formules de Simpson mais cette m´ethode est beaucoup plus longue. • On a une fonction form´ ee d’une partie qui est la d´ eriv´ ee d’une autre partie de la fonction ` a primitiver

d’autres pensent que s’est une catastrophe. Depuis 1970, il y a une phase négative pour les pays développés que l’on peut décrire en 5 points : ➢ Le chômage structurel qui est important, sauf aux USA ➢ Les inégalités croissante dans la distributivité des ressources ➢ L’instabilité grandissante dans l’emploi ➢ Les ouvriers non qualifiés perdent leur emploi et leur salaire baissent ➢ Depuis 1975, il y a le démantèlement de l’Etat Providence Dans quel mesure la mondialisation

Chapitre III : DEVELOPPEMENTS – FACTORISATIONS – IDENTITES REMARQUABLES I. DEVELOPPEMENTS DEFINITION Développer un calcul signifie faire disparaître les parenthèses en effectuant les multiplications. Pour cela, on applique la distributivité : a( b + c) = a × b + a × c = ab + ac (a + b )(c + d ) = ac + ad + bc + bd EXEMPLES II. 1) ( 8 x + 3)( - 2 x + 1) = 8x × ( - 2 x) + 8x × 1 + 3 × ( - 2 x) + 3 × 1 = -16 x 2 + 8 x − 6 x + 3 = - 16 x 2 + 2 x + 3 2) 4( x − 3)(

e ee tiplication dans K, ainsi que de la d´finition de la multiplication des matrices (quand on peut e calculer les produits). A, B, C ∈ Mn (K), λ ∈ K, In A = AIn = A λ(AC) = (λA)C, on note λAC. (A + B)C = AC + BC et A(B + C) = AB + AC (double distributivit´ de la multiplication par e rapport ` l’addition.) a 44 CHAPITRE 5. MATRICES Remarque : Le produit des matrices n’est pas commutatif. On n’a pas toujours AB = BA, mˆme si les produits AB et BA existent tous les deux. e Exemple : 

parenthèses précédées € d'un signe "-" a pour effet de changer le signe de tous les termes intérieurs à ces parenthèses. 21 B. La multiplication Le résultat de la multiplication de polynômes est un polynôme obtenu en appliquant la distributivité et les propriétés des puissances. Exemples 2( 3y 2 - 5y + 4y 3 - 3) = 2.3y 2 - 2.5y + 2.4y 3 - 2.3 = 6y 2 - 10y + 8y 3 - 6 2 2 2 (2 - k )( 3k - 5k + 1) = 2.3k - 2.5k + 2.1- k3k + 5kk - k1 1) 2) = 6k 2 - 10k + 2 - 3k 3 + 5k 2 - k

la plus courte des distances AM quand M parcourt (d). • Le point de (d) qui réalise ce minimum est le pied de la perpendiculaire à (d) passant par A. Distributivité Il s’agit d’une propriété de la multiplication par rapport à l’addition. • Pour la distributivité simple : k × (a + b) = k × a + k × b • Pour la double distributivité : ( a + b )(c + d) = ac + ad + bc + bd Dans une fraction, le dénominateur dénomme c’est-àdire donne le nom de la portion représentée. 5 Par exemple,

1 X X 1 entrées : X  ; X   ; X  X et X  .  Identités remarquables : 84 F o n c t i o n T r a i t e r 1.4. Propriétés et théorèmes remarquables : Propriétés  A . (B C) AB AC (Distributivité du produit par rapport à la somme) ; B)  A (B . C) (A  . (A C) (Distributivité de la somme par rapport au produit) ;  AB AB B : B(A A) B . 1 B (Factorisation) ; B) A  A + AB = A : A(1   . 1 A (Loi d'absorption) AB A B  A AB A B ; en effet, A AB A AB   ;

généralisable pour n 1 1 ; X X X et XX 1 . entrées : X0 X ; X   Identités remarquables : 84 F o n c t i o n T r a i t e r 1.4. Propriétés et théorèmes remarquables : Propriétés  A . (B C) AB AC (Distributivité du produit par rapport à la somme) ;  A (B . C) (A B) . (A C) (Distributivité de la somme par rapport au produit) ;  AB AB B : B(A A) B . 1 B (Factorisation) ;  A + AB = A : A(1 B) A . 1 A (Loi d'absorption)  A AB A B ; en effet, A AB A ABAB A B ; Théorème