Distributivité

de théorème de Plancherel. E Si la réponse impulsionnelle d’un système est une impulsion de Dirac, le signal de sortie est une image fidèle du signal d’entrée. D L’impulsion de Dirac est l’élément neutre : f (t) ∗ d (t) = C distributivité par rapport à l’addition : f 1 (t) ∗ [ f 2 (t) + f 3 (t)] = [ f 1 (t) ∗ f 2 (t)] + [ f 1 (t) ∗ f 3 (t)] Q On parle de fonction d’autocorrélation dans le cas particulier où x(t) = y(t). +∞ x (t) x * (t − t) dt C x, y (t) e − j vt d

−∞ f 1 (t − t) f 2 (t) d t Corrélation de deux fonctions 67 Propriétés du produit de convolution commutativité : f 1 (t) ∗ f 2 (t) = f 2 (t) ∗ f 1 (t) associativité : f 1 (t) ∗ [ f 2 (t) ∗ f 3 (t)] = [ f 1 (t) ∗ f 2 (t)] ∗ f 3 (t) distributivité par rapport à l’addition : f 1 (t) ∗ [ f 2 (t) + f 3 (t)] = [ f 1 (t) ∗ f 2 (t)] + [ f 1 (t) ∗ f 3 (t)] +∞ A B C L’impulsion de Dirac est l’élément neutre : f (t) ∗ d (t) = Si la réponse impulsionnelle d’un système est une impulsion

s’excluent mutuellement et leur union est S : ∀( i ≠ j ) ,( A i ∩ A j = ∅ ) ; i=1 ∪ Ai = S A1 B A2 n Soit B un événement quelconque A3 De S = A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n et de B ∩ S = B , on tire B = B ∩ ( A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n ) . Soit, par distributivité, B = ( B ∩ A 1 ) ∪ ( B ∩ A2 ) ∪ ... ∪ ( B ∩ A n ) . En remarquant que les B ∩ Ai sont exclusifs, puisque les Ai le sont, et en appliquant le 3ème axiome du calcul des probabilités on obtient la formule dite des « probabilités totales » : P ( B

produit de matrices Malgré les difficultés soulevées au-dessus, le produit vérifie les propriétés suivantes : Proposition 100 1. A(BC) = (AB)C : associativité du produit, 2. A(B + C) = AB + AC à la somme, 3. A · 0 = 0 et (B + C)A = BA + C A : distributivité du produit par rapport et 0 · A = 0. Démonstration Posons A = (a i j ) ∈ M n,p (K), B = ( b i j ) ∈ M p,q (K) et C = ( c i j ) ∈ M q,r (K). Prouvons que A (BC ) = ( AB)C en montrant que les matrices A (BC ) et ( AB)C ont les mêmes coefficients

 Dans certains cas, les parenthèses sont inutiles. Ainsi :  a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c  Et encore :  a.(b.c)=(a.b).c=a.b.c  La commutativité Elle indique que l’ordre des variables logiques n’a aucune importance :  a+b=b+a  Et encore :  a.b=b.a  La distributivité Attention, cette fois il y a une différence importante par rapport à l’algèbre classique et la distribution liée aux opérateurs + et *. C’est  la raison pour laquelle il a été expliqué qu’il ne fallait pas les confondre avec les symboles logiques

commutatif. D´finition 2.1.3 Soit (K, + ,×) un ensemble muni de deux lois de composition interne + e et ×. On dit que (K, + ,×) est un corps si : (C1) (K,+) est un groupe commutatif ; (C2) (K ∗ ,×) est ( groupe ; un x × (y + z) = x × y + x × z (distributivit´ de × par rapport ` +). e a (C3) ∀x,y,z ∈ K (x + y) × z = x × z + y × z Si de plus × est commutative, alors (K, + ,×) est dit un corps commutatif. Exemple 2.1.3 i) (IR, + ,×) est un corps commutatif ; ii) (l + ,×) est un corps commutatif. C,

le fait que l’addition vectorielle et l’addition des réels sont commutatives. 2. Ecrire l’expression analytique du produit scalaire sur les coordonnées des vecteurs cu(x ; y), bv(x’ ; y’), hw(x’’ ; y’’) et bv+hw(x’+x’’ ; y’+y’’) et utiliser la distributivité de la multiplication sur l’addition de R. 3. a. Écrire l’expression trigonométrique du produit scalaire (kcu).bv et procéder par disjonction des cas : k = 0, k > 0 et k < 0. On utilisera le fait que : ||kcu|| = |k|.||cu|| A(kcu, bv) = m(cu, bv)

logique floue Les différentes fonctions de logique floue que nous venons de présenter possèdent les mêmes propriétés que les fonctions de logique classique (distributivité, commutativité et règles de De Morgan). Une transposition de ces règles en logique floue est représentée dans le tableau 4.5. Logique classique Logique floue distributivité min (max (A, B) ,C) = max (min (A,C) , min (B,C)) commutativité max (max (A, B) ,C) = max (A, max (B,C)) règle de De Morgan 1 − min (A, B) = min (1 − A, 1 −

multiplication, division – Sens de la relation d’égalité (équation), sens de la relation d’équivalence – Relations entre les opérations – Propriété des opérations : commutativité – Propriété des opérations : associativité – Propriété des opérations : distributivité – Priorité des opérations (suite d’opérations sur les nombres naturels) • Nombres décimaux – Sens des opérations : addition et soustraction – Sens des opérations : multiplication et division • Fractions – Sens des opérations (à l’aide d’un matériel

et utiliser la distributivité de la multiplication sur l’addition de R. 3. a. Écrire l’expression trigonométrique du produit scalaire (kcu).bv et procéder par disjonction des cas : k = 0, k > 0 et k < 0. On utilisera le fait que : ||kcu|| = |k|.||cu|| A(kcu, bv) = m(cu, bv) si k > 0 et (cu, bv) + π si k < 0, cos (x+ π) = –cos (x). b. En utilisant l’expression projetée, on fera appel au théorème de Thalès pour obtenir que le projeté de kcu est kcu’. 66 Utiliser la distributivité sur l’addition