Distributivité

´ nombre de lignes de N . Le produit de deux matrices correspond a la composition de deux applications lin´ aires. ` e Les propri´ t´ s de la multiplication de matrices sont : ee • • • • • • • • • • A(B + C) = AB + AC (distributivit´ a droite) ; e` (A + B)C = AC + BC (distributivit´ a gauche) ; e` A(BC) = (AB)C (associativit´ ) ; e AB = BA (non-commutativit´ ) ; e A × I = A (´ l´ ment neutre) ; ee A × 0 = 0 (´ l´ ment absorbant) ; ee AB = 0 n’implique pas toujours A = 0 ou B = 0 ; AB = AC n’implique

multiplication, e e e faisant intervenir les ´l´ments de K, appel´s scalaires. Cette loi externe doit v´rifier les axiomes suivants, ee e e x, y ∈ E, a, b ∈ K d´signant des scalaires : e 1. a × (x + y) = a × x + a × y (distributivit´) e 2. (a + b) × x = a × x + b × x (distributivit´) e 3. a × (b × x) = ab × x (associativit´) e 4. 1 × x = x Si on prend K = R, on v´rifie que Rn dot´ de la loi interne + et de la loi externe × est un espace vectoriel. e e 1.1.4 Vecteurs lin´airement ind´pendants

⁄AEù◊⁄ABù = ÷2 ¥ 1 ¥ cos = 1 (ou par projec4 3p tion) ; ⁄AEù◊⁄ADù = ÷2 ¥ 1 ¥ cos = – 1; 4 d’où ⁄AEù◊⁄ABù + ⁄AEù◊⁄ADù = 0. 2. ⁄ABù + ⁄ADù = ⁄ACù, d’où ⁄AEù◊(⁄ABù + ⁄ADù ) = ⁄AEù◊⁄ACù = 0 car les vecteurs ⁄AEù et ⁄ACù sont orthogonaux. On retrouve la distributivité du produit scalaire sur la somme des vecteurs. 32 a) ⁄AEù◊⁄ADù = (⁄AGù + ⁄GEù )◊(⁄AGù + G ⁄ Dù ) = 1 + 0 + 0 – 9 = – 8. b) ⁄ACù◊⁄AIù = (⁄AHù + ⁄HCù )◊(⁄AGù + ⁄GIù ) = – 3 + 0 + 0 + 10 = 7. c) ⁄DFù◊⁄ABù = (⁄DIù + ⁄IFù )◊(⁄AHù + ⁄HBù ) = 0 – 2

V. Cass. Com. 7 avr. 1967 D. 1968 P. 61 (en matière de concurrence déloyale) ; Req. 21 juill. 1936 Gaz. Pal. 1936. II. 609 (en matière d’accident de circulation) SECTION 2 : LE REGIME JURIDIQUE DES ACTES DE COMMERCE §1 : Le principe de distributivité A. La condition d’application du principe distributif : l’existence d’actes mixtes L’acte mixte est un acte civil pour l’une des parties et de commerce pour l’autre ; les actes mixtes ne constituent pas une catégorie d’acte de commerce

. . 12 Nombres r´ eels et complexes n = 0 : (a + b)0 = 1 = a0 b0 . n→n+1 : (a + b)n+1 = (a + b)n (a + b) n n ν n−ν a b ν = ν=0 n = ν=0 n+1 = ν=1 n = ν=1 n n n ν+1 n−ν n ν n−ν+1 b + (loi de distributivit´e g´en´eralis´ee) a a b ν ν ν=0 n n n ν n−ν+1 aν bn−ν+1 + a b ν −1 ν ν=0 n n n+1 0 n 0 n+1 n n ν n−ν+1 a b + + a b aν bn−ν+1 + a b n 0 ν −1 ν ν=1 n n + ν ν −1 = ν=1 n = ν=1 n+1 = ν=0 (a + b)

0 1  2 -2 0 −2 8 −2 −2 1 2 1 8 2 9 0      = AB avec, par exemple, 8 = 3 · 2 + (−1) · (−2) + 1 · 0. Proposition B.6 Pour toute matrice A, B ∈ Mn,p ( ), C, D ∈ M p,q ( ) et E ∈ Mq,r ( ), on a : • (A + B)C = AC + BC, A(C + D) = AC + AD (distributivité) ; • (AC)E = A(C E) (associativité) ; Vérifier dans la proposition précédente que les produits matriciels sont bien définis. De manière générale, deux matrices A, B ∈ Mn ( ) ne commutent pas : A= −1 0 1 0 0 −1 0 1 = BA = ; AB = ;B = 0 1 0 −1

−∞ f 1 (t − t) f 2 (t) d t Corrélation de deux fonctions 67 Propriétés du produit de convolution commutativité : f 1 (t) ∗ f 2 (t) = f 2 (t) ∗ f 1 (t) associativité : f 1 (t) ∗ [ f 2 (t) ∗ f 3 (t)] = [ f 1 (t) ∗ f 2 (t)] ∗ f 3 (t) distributivité par rapport à l’addition : f 1 (t) ∗ [ f 2 (t) + f 3 (t)] = [ f 1 (t) ∗ f 2 (t)] + [ f 1 (t) ∗ f 3 (t)] +∞ A B C L’impulsion de Dirac est l’élément neutre : f (t) ∗ d (t) = Si la réponse impulsionnelle d’un système est une impulsion

célébré à l'étranger voulant être retranscrit en France n'était pas valable au regard de la loi française. A l'occasion de cette loi, on a introduit des lois favorables à l'article 202-1 du Code Civil. Cela va consister à mettre à l'écart la distributivité, on va prendre en compte qu'une loi : cela peut être celle de la nationalité, du domicile ou de la résidence. Il suffit que la loi correspondant à un de ces critères, valide le mariage pour qu'il soit célébré en France (cela va permettre par exemple

le consentement des parties, ce qui est sécurisant. En droit commercial la rapidité de la la vie des affaires ne permet pas toujours l'écrit. § 2 : Le cas des actes mixtes Lorsqu'un acte est à la fois civil et commercial, on procède à la distributivité des règles du droit commercial. On va appliquer à la personne civile les règles de droit civil et à la personne commerçante les règles du droit commercial. Dans un tel cas, le non commerçant peut rapporter la preuve de l'acte contre le commerçant

est... plat). e u e e (b’) toute permutation de vecteurs conduit ` un changement de signe. a Par exemple, K ∧ J ∧ I = −I ∧ J ∧ K. (c’) on peut ”faire sortir” ou ”faire rentrer” un scalaire. Exemple : 6(U ∧ V ∧ W ) = U ∧ 3V ∧ 2W . (d’) toutes les distributivit´s sont permises. e Par exemple : (U1 + U2 ) ∧ (V1 + V2 ) ∧ W = U1 ∧ V1 ∧ W + U1 ∧ V2 ∧ W + U2 ∧ V1 ∧ W + U2 ∧ V2 ∧ W . Remarque : U ∧ V ∧ W n’est pas un double produit vectoriel ! Nous allons d´finir le d´terminant d’un syst`me de vecteurs (U, V