Division d'un polynôme

Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/MC2/node2.html Sous-sections • • • • • • Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration par MuPad QCM corrigé Matrices diagonales Nous nous plaçons dans ou , avec . Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne

1ère S3 DEVOIR n°1 DE MATHEMATIQUES 03.10.2013 EXERCICE 1 Soit f la fonction polynôme définie sur ℝ par : ( ) On désigne par С la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗). Vous justifierez toutes vos réponses. 1. a) Déterminer la forme canonique de f . b) Quelles sont les racines de f ? c) Donner la forme factorisée de f. 2. Donner le tableau de signes de f(x). 3. Dresser le tableau de variations de f. 4. Résoudre a) l’équation ( ) b) l’inéquation

Polynômes et équations du second degré Savoir-faire : Mettre un polynôme du second degré sous forme canonique Déterminer les racines d'un polynôme du second degré Etudier le signe d'un polynôme du second degré Utiliser la forme la plus adaptée (développée, canonique, factorisée) d'un polynôme du second degré en vue de résoudre un problème 1. Polynômes du second degré Définition On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme : P(x)=ax2+bx+c

second degré -I- Polynôme : définition : Exemples : On appelle polynômes une expression de la forme axn+bxn−1+cxn−2+dxn−3+⋯+αx2+βx+γ où a, b, c,d, ..., α , β , γ sont des réels donnés appelés coefficients du polynôme et x est un réel variable. Le plus grand exposant attribué à la variable x, ici n, est appelé degré du polynôme. x4+3 x2+1 est un polynôme de degré 4, 5 −0 5 x 4 est aussi un polynôme de degré 4 dans ce cas on l'appellera monôme de degré 4, −2 x+3 est un polynôme de degré 1, x4+

de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ; et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré. En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approEn

Forme factorisée du polynôme ax 2 bxc Propriété Si <0 le polynôme n'est pas factorisable. 2 Si =0 alors f  x =a  x −x 0  Si >0 alors f  x =a  x −x 1 x−x 2  Exemple : 1) Résoudre l'équation f(x)=0 2) Factorisez la fonction f 1) f  x =2 x 2−2 x −12 =−22−4×2×−12=496=100 x 1= 2−10 −8 = =−2 2×2 4 x 2= 210 12 = =3 2×2 4 on vérifie : 2 −23 −2×−2−12=84−12=0 -2 est bien une racine du polynôme 2×32−2×3−12=18−6−12=0 3 est bien une racine du polynôme 2) f(x)=2(x+2)(x-3)

+c Donc c= -3900 Donc on peut dire que B(x)= x carré + 160 x -3900 2. f (79)=(12640-6241)-3900= 2499 f (81)=(12960-6561)-3900= 2499 Pour 79 et 81% d’occupation, le bénéfice est le même. 3. Comme on a une fonction polynôme du second degré, elle croit (avec a négatif) ou décroit (avec a positif) jusqu’au sommet puis elle décroit (avec a négatif) ou croit (avec a positif). Elle ne redescend ou remonte plus après. Donc l’occupation avec le bénéfice maximal sera la moyenne

. On peut utiliser la forme développée : ? 0 = 0,52 m. Roger a frappé la balle à ?? cm de hauteur. 4. Il s’agit de trouver le maximum de la fonction ?. On utilise la forme canonique. 0,016 ? − 8 2 + 1,544 est la forme canonique de la fonction polynôme ? avec ? = −0,016 ; ? = 8 et ? = 1,544. La fonction ? admet donc un maximum en ? = 8 qui vaut 1,544. La hauteur maximale de la balle est 1,544 mètre, atteinte à une distance (à l’horizontale) de 8 mètres de Roger. 5. a. Il s’agit de résoudre

Les fonctions polynômes du second degré I. Définitions et notations 1. Nombres entiers naturels Une fonction polynôme est une fonction qui s’écrite sous la forme de avec , et . Exemples : Les fonctions suivantes sont des fonctions polynôme du second. a. avec et . b. avec , et . c. avec , et d. avec , et e. avec , et . 2. Rappel sur l’étude d’une fonction   du second degré Domaine de définition : Toutes les fonctions polynômes de degré deux sont définies

est . Ainsi, h(x) = 5(x+1) x − 5 5 b. Donner la forme canonique de h(x) ; 2 3 h(x) = 5 x2 + x − 5 5 =5 x+ 3 10 2 − 9 2 =5 − 100 5 x+ 3 10 2 − = (x+1)(5x−2). 49 . 100 c. Esquisser la courbe représentative de h et donner les coordonnées d’un point remarquable associé à cette courbe. 4 3 Ch 2 1 −2 1 −1 2 −1 S −2 Le point S(−0,3; −2,45) est le sommet de la parabole. 3. Dire, en justifiant votre réponse le plus simplement possible et en faisant le minimum de calculs, pour chacune