Division d'un polynôme

démontrer que : S1 = n(n + 1) 2 Calcul de S2 On considère la fonction polynôme de degré 3 f2 définie par f2 (x) = x3 x2 x − + . 3 2 6 1. Calculer f2 (1). 2. A l’aide du logiciel Xcas, vérifier que, pour tout réel x, f2 (x + 1) − f2 (x) = x2 (II). 3. En écrivant l’égalité (II) pour x = 1, x = 2, . . . , x = n, démontrer que : S2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 Calcul de S3 On considère la fonction polynôme de degré 4 f3 définie par f3 (x) = x3 x2 x4 − + . 4 2 4 1. Calculer

Chapitre 1 : Second degré. I. Fonction polynôme de degré 2. Définition : Soit une fonction définie sur par où a, b et c sont des réels tels que a 0. Cette fonction est appelée fonction polynôme de degré 2. Exemple : • est une fonction polynôme de degré deux car elle s’écrit sous la forme de Où ici a = 1 ; b = 6 ; c = 12 • est une fonction polynôme de degré 2 avec a = 2 ; b = 5 ; c = -3 Proposition : Soit une fonction définie comme précédemment. Alors sa courbe représentative est une

 x 2 + 4 x - 5. On a vu en seconde que la représentation d’une fonction polynôme de degré 2 est une courbe appelée parabole. Cette parabole peut être orientée vers le haut (si a > 0) ou vers le bas (si a < 0). Parabole orientée vers le haut Parabole orientée vers le bas 3/ Inéquations du second degré On dit que - 1 et 3 sont les solutions de l’équation x 2 - 2 x - 3 = 0. On dit que - 1 et 3 sont les racines du polynôme x 2 - 2 x - 3. Exemple: résoudre x 2 - x - 6 0 On commence par chercher les

d’algèbre : les polynômes 1 · x1 1 · x2 1 · x3 1 · x4 1 · x5 1 · x6 2 · x1 2 · x2 2 · x3 2 · x4 2 · x5 2 · x6 3 · x1 3 · x2 3 · x3 3 · x4 3 · x5 3 · x6 4 · x1 4 · x2 4 · x3 4 · x4 4 · x5 4 · x6 5 · x1 5 · x2 5 · x3 5 · x4 5 · x5 5 · x6 6 · x1 6 · x2 6 · x3 6 · x4 6 · x5 6 · x6 7 · x1 7 · x2 7 · x3 7 · x4 7 · x5 7 · x6 1 CHAPITRE I. COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE : LES POLYNÔMES 2

 §1 DIVISION D’UN POLYNÔME PAR UN POLYNÔME Soit p( x) et d ( x) deux polynômes (d ( x) ≠ 0). Diviser p( x) par d ( x), c’est trouver deux polynômes q( x) et r ( x) vérifiant : (1) (2) p( x) = d ( x) ⋅ q( x) + r ( x) degré de r ( x) < degré de d ( x) Le polynôme p( x) est appelé le dividende, le polynôme d ( x) est appelé le diviseur. Le polynôme q( x) est appelé le quotient de la division de p( x) par d ( x) et le polynôme r ( x) est appelé le reste de la division de p( x) par d

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES Cours 39 POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES I. DEFINITIONS 1. Monôme 2. Polynôme 3. Equation algébrique 4. Zéro d’un polynôme II. OPERATIONS SUR LES POLYNOMES 1. Identité de deux polynômes 2. Addition de deux polynômes 3. Multiplication de deux polynômes 4. Multiplication d'un polynôme par un scalaire 5. Division de deux polynômes suivant les puissances décroissantes (Euclidienne) 6. Division Euclidienne par un polynôme de degré 1 7. Division

td15(polynomes).dviLycée Joffre Année 2015-2016 PCSI 1. Feuille 15 TD n◦15: Polynômes . Exercice 1 Déterminer le reste de la division euclidienne de X4 +X3 + 2X + 1 par X2 + 1. Exercice 2 Déterminer a et b dans R tels que X2 + 2 divise X4 +X3 + aX2 + bX + 2. Exercice 3 Effectuer la division euclidienne de A par B lorsque : 1. A(X) = X7 − 2X + 1 et B(X) = X2 − 1 2. A(X) = 3X5 + 4X2 + 1 et B(X) = X2 + 2X + 3 Exercice 4 Montrer que X (X − 2) divise (X − 1)4 + (X − 1)2 − 2 et calculer le quotient. Exercice

Exo7 Polynômes ❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✶✳ ❉é❢✐♥✐t✐♦♥s ❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✷✳ ❆r✐t❤♠ét✐q✉❡ ❞❡s ♣♦❧②♥ô♠❡s ❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✸✳ ❘❛❝✐♥❡ ❞✬✉♥ ♣♦❧②♥ô♠❡✱ ❢❛❝t♦r✐s❛t✐♦♥ ❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✹✳ ❋r❛❝t✐♦♥s r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡s ❊①❡r❝✐❝❡s P♦❧②♥ô♠❡s Motivation Les polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches. Vous savez déjà résoudre les équations de degré 2 : aX 2 + bX + c = 0. Savez-vous que la résolution des équations de degré 3, aX 3 + bX 2 + cX + d = 0, a fait l’objet de luttes acharnées

& Dénombrabilité Chapitre 2 : Structures algébriques     Lois de composition interne Groupes Anneaux Corps Chapitre 3 : Arithmétique dans Z     Division euclidienne dans Z PGCD Nombres premiers Congruences Chapitre 4 : Polynômes & Fractions rationnelles  Définition formelle des polynômes  Divisibilité, pgcd, Irréductibilité, racines…  Fractions rationnelles, Décomposition en éléments simples N.B : le contenu de ce polycopié sera enrichi, développé par d’autres

fraction rationnelle img360.png , où img361.png sont de polynômes. On procède par étapes, en illustrant la théorie à l'aide de l'exemple img362.png La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique: nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importants d'algèbre sans démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse. Division euclidienne 1img363.png étape: On utilise le Théorème [et définition: division euclidienne]  
Soient img364.png , img365.png . Alors il existe