Division d'un polynôme

I. Polynômes Définition / Vocabulaire : Un monôme est une expression de la forme : a x n ou a est un nombre réel et n un entier naturel : le nombre a est appelé coefficient du monôme et le nombre n est appelé le degré du monôme. • 3x² est un monôme du second degré et de coefficient 3 • -2 / x n'est pas un monôme • 3 = 3x0 est un monôme de degré 0 et de coefficient 3 Définition : Une somme de plusieurs monômes est un polynôme. • • • • 3x² - 5x + 7 est un polynôme du second degré -x3 + 4x - 9 est

signe de f (x) sur ℝ ------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercice n°1 (Corrigé) 1°) Calcul de la dérivée de f ainsi que les limites aux bornes de Df. La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est définie, continue et dérivable sur ℝ . Et pour tout x ∈ℝ : f ' (x)=3 x 2+2 x−5 . a) Pour connaître le sens de variation de f , on étudie le signe de f ' ( x) . On résout d'abord l'équation f ' (x)=0 c'est-à-dire 3 x 2+2 x−5=0 avec

Interprétation graphique Propriété : la représentation graphique d’un trinôme du second degré est une parabole de sommet S(α; β), orientée vers le haut ou vers le bas ; on a donc deux cas de figure : Si a > 0 α Si a < 0 α β x P (x) −∞ +∞ +∞ +∞ x P (x) −∞ +∞ β −∞ −∞ II Discriminant Définition : On appelle discriminant du polynôme P (x) = ax 2 + bx + c le nombre ∆ = b 2 − 4ac. 1) Racines Déterminer les racines d’un polynôme P (x) = ax 2 + bx + c revient à résoudre l’équation P

Fonctions polynômes du 2nd degré Définition : Une fonction f définie sur R est une fonction polynome du 2nd degré s’il existe des réels a, b et c (a≠0) tel que pour tout réel x∈R f(x)=ax^2+bx+c "(Forme développée)" Exemple : Soit x∈R f(x)=5x^2+3x+6  Polynôme du 2nd degré g(x)=x+1  1er degré h(x)=5x^3+3x+6  3ème degré f(x)=ax^2+bx+c f(x)=a[x^2+b/a x]+c x^2+b/a x+b²/4a²=(x+b/2a)² f(x)=[(x+b/2a)^2-b^2/(4a^2 )]+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+(c "x

2 = 7 et xy = S = 12 En remplaçant y par 7 – x on obtient l'équation x(7 – x) = 12 qui peut s'écrire encore x 2 – 7x + 12 = 0. Comment résoudre une telle équation ? La réponse est dans ce qui suit. 1. Fonction polynôme du second degré Définition 1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur , pouvant se ramener à la forme : P(x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont des réels avec a ¹ 0 L'expression ax 2 + bx + c est encore appelée trinôme du second degré

POLYNOMES 1/ écriture d'un polynôme a ) un polynôme réduit Par définition un polynôme est une somme de monômes. Quand un polynôme contient plusieurs monômes de même degré, on les regroupe en effectuant leur addition. On dit que l'on réduit le polynôme . Habituellement on ordonne les différents monômes en les rangeant dans l'ordre des puissances décroissantes . b) écriture générale d'un polynôme réduit et ordonné de degré 2 Un polynôme

I - Second degré Résolution d'équation du second degré Signe de ax²+bx+c Factorisation d'un polynôme du second degré Calculatrice et second degré I 5 6 7 7 A. Résolution d'équation du second degré 1. Résolution de l'équation ax²+bx+c=0 Définition Pour résoudre l'équation ax²+bx+c=0 on calcule  b −4 a c 2 Si 2 b −4 a c est positif on a alors deux solutions possibles : 2 2 - b−  b −4 a c ou - b b −4 a c x 1= x 2= 2a 2a   Si Si 2 b −4 a c est égal à 0 on a

Polynômes 1) Définitions P(x)=2x+1 est un polynôme de degré 1 Q(x)=[pic] est un polynôme de degré 2 [pic] n’est pas un polynôme On appelle monôme de degré n toute écriture de la forme [pic], ou [pic] est un réel fixé et x une variable réelle. On appelle polynôme P toute somme de monômes, ou encore toute écriture de la forme [pic] . n s’appelle le degré du polynôme (le plus grand entier ). Coefficients : Les réels [pic] sont appelés les coefficients du polynôme. Quelques

{ j ,− j ,  ,− } . z 3=1 ⇔ z =1 , j où j 2 =1 a 4 solutions dans ℂ : 1 , i , -1 ,-i −1i  3 ( on rappelle qu'on pose j= et qu'on a z 4 Q z = z− j z j z−  z  j j En regroupant les racines conjuguées on obtiendra des polynômes du second degré à coefficients réels . Q z = z − j z −  z  j z  n= z 2z 1 z 2−z 1 j j Ex 2 Montrer que l'équation : P  z= z 31−i  z 24−i  z− 4i=0 a une solution imaginaire pure ib avec b ∈ℝ . En déduire une factorisation

2 ou x > 1,5, f(x) = - 2 x² - x + 6 < 0 Pour – 2 < x < 1,5, f(x) = x² - 4 x + 3 > 0 Ceci peut se résumer par le tableau suivant : a = - 2 < 0 Résolution d’une inéquation du second degré : D’après les deux études précédentes, le signe du polynôme a x² + b x + c dépend du coefficient a de la façon suivante : a. Cas où  > 0 : b. Cas où  = 0 : Dans ce cas, le trinôme a x² + b x + c admet une seule racine telle que: x1 = x2 = x0 = et se factorise comme suit : a x² + b x + c