Division d'un polynôme

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à la forme canonique n’est pas au programme de la classe de seconde, mais reconnaître la forme canonique d’une fonction polynôme de second degré donnée sous forme développée est au programme. Exemple : Soit  la fonction polynôme définie sur I = [ 5 ;5] par u 3 ² 6 1. Montrer que

1. Polynômes du second degré Définition On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme : P(x)=ax2+bx+c où a, b et c sont des réels avec a ≠0 Exemples P(x)=2x2+3x−5 est un polynôme du second degré. P(x)=x2−1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q(x)=x−1 n'en est pas un car a n'est pas différent de zéro. (C'est un polynôme du premier degré-ou une fonction affine) P(x)=5(x−1)(3−2x) est un polynôme du second degré car en développant

second degré. POUR L'EXERCICE : RESOUDRE LES EQUATIONS ET TROUVER X S'il n'y a pas de solution marquez le mot 'rien' dans la case sans les ' '. S'il y a une seule solution marquez-la dans la case et s'il y a 2 solutions marquez comme ceci séparé d'un point-virgule (ex: 1;2) toujours la solution la plus petite en premier). Toutes les équations ne sont pas sous la forme générale d'une équation du second degré; il faudra éventuellement faire quelques opérations élémentaires sur les égalités pour s'y

polynomiale à coefficients entiers possède des solutions en nombres entiers, celles-ci sont à chercher parmi les diviseurs du terme constant du polynôme. Exemple 1. Soit l’équation (1) x3 − 4x2 − 7x + 10 = 0, dont on cherche toutes les solutions réelles. On pose P (x) = x3 − 4x2 − 7x + 10. Le problème consiste à trouver toutes les racines, s’il en existe, du polynôme P , qui est du troisième degré. La première des choses à faire est de procéder à des essais numériques : c’est la recherche de racines évidentes

trinôme 1.1 Le trimôme du second degré Définition 1 : On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynôme P(x), à coefficients réels, de la forme : P(x) = ax2 + bx + c avec a 0 Exemples : Les trois polynômes suivants sont des trinômes P1 (x) = x2 + 2x − 8 P2 (x) = 2x2 + 3x − 14 P3 (x) = −x2 + 4x − 5 1.2 Quelques exemples de formes canoniques La forme canonique d’un trinôme est une forme à partir de laquelle on peut savoir si le trinôme peut se factoriser ou non. Cette forme est

PARTICULIERE de L'EQUATION COMPLETE (I) 4.1.. Formes classiques du second membre. • ϕ( x ) = Pn ( x ) avec Pn polynôme de degré n 2 © dpic – inpl – mai 1999 Equations différentielles linéaires du 2ème ordre. U.M.N. 13. c≠0 ySP ( II ) = Qn ( x ) c = 0 et b ≠ 0 ySP ( II ) = xQn ( x ) c=b=0 ySP ( II ) = x 2Qn ( x ) Cours. avec Qn polynôme de degré n • ϕ( x ) = e mx Pn ( x ) avec Pn polynôme de degré n et m ∈ R∗ ou bien, on effectue le changement de fonction inconnue y = e mx z avec z fonction

4 2. Trouver l'autre racine (en valeur exacte). Exercice 3 (4 points) On considère la fonction P définie sur  par P(x) = (x +1) – (4x + 2) . 2 2 2 1. Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le degré. 2. Résoudre l'équation P(x) = 0. Exercice 4 (2 points) Soit P la fonction polynôme définie sur  par : P(x) = a x 2 + bx + c (avec a ¹ 0) Démontrer que : Si a et c sont de signes opposés alors P admet au moins une racine réelle Exercice 5 (4 points) Résoudre l'inéquation

Chapitre 1 : Fonctions polynômes 1. Les fonctions polynômes du 2nd degré Définition : Une fonction polynôme du second degré est une fonction �� définie sur ℝ par : �� �� = ���� 2 + ���� + �� �������� ��, �� ���� �� ������ ��é������ ���� �� ≠ 0 a) Forme canonique Il s’agit de factoriser la fonction polynôme �� �� ���� 2 + ���� + �� = �� �� 2 + �� + �� �� 2 �� �� 2 �� = �� �� + − 2+ 2�� 4�� �� = �� �� �� + 2�� 2 �� 2 − 4���� − 4��2 Rappel : �� + �� 2 = �� 2 + 2���� + ��2 �� 2 − �� = �� − �� ��

Déduire à partir des variations de la fonction « carré » les variations d’une fonction polynôme de degré 2. Les variations de la fonction carré (décroissante sur ]- ; 0], croissante sur [0 ; + [) étant connues et écrites dans le cours, on a le droit de les utiliser dans un exercice sans le redémontrer. Elles permettent de justifier qu’une fonction qui « ressemble » à la fonction carré (comme , ; ou un intervalle. a) b) c) d) Montrer que la fonction f est croissante sur [0 ; + [. Montrer que la

résoudre l'inéquation : 2 x 2 + 9 x − 5 ≤ 0 • Méthode : s'il n'y a pas de racine le trinôme P( x ) = ax 2 + bx + c est du signe de a. s'il y a des racines on factorise le trinôme, on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle du signe d'un produit • Solution : ∆ = 81 − 4 × ( −5 × 2) = 121 −9 − 121 −20 x′ = = = −5 2×2 4 −9 + 121 2 1 x′′ = = = 2×2 4 2 ( x + 5)( 2 x − 1) ≤ 0 L'inéquation devient donc : On étudie le signe de x + 5 x + 5 > 0 ⇔ x > −5 1 On étudie le signe de 2 x − 1 2x − 1