Division euclidienne

mécanique permet de simplifier l’écriture des équations relatives aux grandeurs fondamentales de la mécanique. 1. Opérations sur les vecteurs → Dans tout ce qui suit, on s’intéressera à l’ensemble E des vecteurs V de l’espace usuel. E est un espace Euclidien à trois dimensions. 2. Définition Un vecteur est un segment de droite OA sur lequel on a choisi une origine O et une extrémité A ; il est défini par : son origine ; sa direction ; son sens ; son module. → −− → A O Par convention on adopte

REDUCTION DES ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . 3.3.1 Sous-espaces stables, polynˆmes d’un endomorphisme o 3.3.2 R´duction d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . e 3.4 Espaces euclidiens, g´om´trie euclidienne, espaces hermitiens e e 3.4.1 Espaces pr´hilbertiens r´els . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.4.2 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Espaces pr´hilbertiens complexes, espaces hermitiens . e 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INTERROGATION : VECTEURS Durée 1h - Il sera tenu compte de la rédaction et de la propreté Exercice 1 : (5 points) Dans la figure cicontre, représenter : le vecteur u + v à partir du point A. u A le vecteur v − u à partir du point B. le point P tel que PA = u le point Q tel que BQ = 2v v B Exercice 2 : (8 points) Soit A  1; −  , B  − ; 2  , C ( 0;3) et D  ; −  . 2   2  2 2 1a. Déterminer les coordonnées du milieu I de [AC]. 1b. Les points I, B et D sont-ils alignés ? 2.

v) →< u, v >= v ∗ u = scalaire sur E. Si K = C on l’appelle plutˆt produit hermitien. o est appel´ produit e ui vi D´finition 7 (et propri´t´) < u, v >= < v, u >. Un espace vectoriel sur R muni d’un produit scalaire e e e est appel´ espace euclidien et un espaces vectoriel sur C muni d’un produit hermitien est appel´ espace e e hermitien. D´finition 8 Deux vecteurs u et v sont dits orthogonaux si et seulement < u, v >= 0. On ´crit que u⊥v. e e remarque Le vecteur nul est orthogonal ` tout vecteur

aq)z + h(bp − aq) = 0 2. Les deux plans sont perpendiculaires si et seulement si (bh + q)(bh − q) + (ah + p)(ah − p) − (aq − bp)2 = 0 c’est-à-dire h 2 (a 2 + b 2 ) = p 2 (b 2 + 1) + q 2 (a 2 + 1) − 2abp q. Exercice 3.24 ♥♥ Dans l’espace euclidien E = R3 , rapporté à un repère orthonormé direct, on considère deux droites D1 et D2 d’équation cartésienne (D1 ) : 2x − z + 1 = 0 x + y − 3z + 4 = 0 et (D2 ) : x −z +1 = 0 y −z +1 = 0 145 1. Trouvez une équation cartésienne de la

I] Inégalité triangulaire 1. propriété Propriété : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit : Si A, B et C sont trois points non alignés alors on a : AB < AC + BC AC < AB + BC BC < AB + AC Exemple : AB = 6 cm et AC + BC = 3 + 4 = 7 cm. On a bien : AB < AC + BC On a de même : AC < AB + BC car 3 < 6 + 4 BC < AB + AC car 4 < 3 + 6 Cas particulier : Si le point C appartient au segment [AB]

Mécanique : Vérification expérimentale de la loi d’addition des vecteurs pour un corps sous l’action de trios forces présenté a M. Hegazi Ecole Oasis Internationale Physique 14 octobre 2012 1. PARTIE 1 : I. Préparation : * La nature d’une force : On a deux genres de forces, la force scalaire et la force vectorielle. * La force scalaire : Cette force est définie par une valeur * La force vectorielle : Cette force est définie par la valeur, le sens, la direction

construire, à reconnaître des objets de la vie courante. C’est aussi la géométrie dans l’espace qui petit à petit va permettre aux élèves de construire leurs représentations de l’espace qui les entoure (de l’espace vécu en début de maternelle à l’espace euclidien en fin de scolarité). 1) Les instructions officielles La lecture des compétences à atteindre par les élèves en géométrie dans l’espace permet de remarquer que « Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme.

réel besoin, elles finirent toujours par permettre de résoudre de nouveaux problèmes qui se posèrent bien plus tard… Il est donc arrivé aussi qu'elles précèdent les grandes découvertes. L'allemand Riemann inventa au XIXèmesiècle une géométrie "non euclidienne" où il n'y a plus de droites parallèles, où la somme des angles des triangles n'est plus de 180°. Cette nouvelle géométrie permit à Einstein de créer ensuite la théorie de la relativité générale.Actuellement, les mathématiques sont présentes partout

Géométrie dans l’espace I. Caractérisation de droites et de plans dans l’espace1. La droitePour repérer un point sur une droite, qu’a-t-on besoin ? → d’une graduation, donc d’une distance, donc de deux points distincts. Ainsi, une droite est définie par deux points distincts. La droite contenant les points A et B se nomme la droite (AB). géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 1 Remarque : une droite se caractérise par un point et une direction.  2. Le planPour repérer un point sur