Dm Nombre Complexes

. . . . . . . . . . . . . 18 1. Les nombres et leurs opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1. Un test utile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2. Les ensembles de nombres usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3. Les opérations sur les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . .

puis(f-1 )'5+3. d) Expliciter f-1 x pour tout x ∈J. Exercice 4 : 5 points Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé d’unité graphique 1 cm 1. Pour tout nombre complexe z on pose. a. Calculer P (−3). b. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que : P (Z) = (Z+3) ( a Z 2 +b Z +c) c. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation d’inconnue z : . 2. Soit I, A, B et C les points d’affixes respectives :  ;  ; et Soit l’ensemble

LPI 99/2000 examcor.tex 1/ 7 Éléments de corrigé Exercice 1 1. est définie sur Ê, paire et périodique, de période Ì obtient la courbe : ; de plus ´Øµ ¾ Ø si Ø ¾ ¼ ¾ On 2. Calculons les coefficients de Fourier Ò et Ò de la fonction – calcul de Ò : puisque – calcul de ¼ : est paire, on sait que Ò ¾ ¼; ; on a Ì , ¾ donc ¾. ¼ ½ ¾ – calcul de Ò pour Ò ¾ Æ £ : Ò ¾  ¾ ´Øµ Ø ¾ ¼ ¾ ´Øµ Ø ¾ ¾ ¼ ¾ Ø Ø ¾ ¢¾

01. Les nombres complexes 1 1.1 Introduction Construction de C En mathématiques, il arrive souvent que l’on introduise de nouveaux objets pour résoudre un problème : par exemple, les grecs pensaient que seuls les nombres rationnels existaient, mais on a √ vu que 2, la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1, était irrationnel. On a complété Q en R. De même, nous savons tous qu’un nombre négatif n’a pas de racine, on introduit le symbole i tel que i2 = −1 et l’ensemble des éléments

FONCTIONS NUMÉRIQUES Fonctions logarithme et exponentielle : Fonctions x a ln x, x a log x, x a e , x a a . Propriétés opératoires. Représentation graphique. Dérivation : Dérivée en un point : tangente en un point à la courbe d’équation y = f (x ) . Nombre dérivé d’une fonction en un point Fonction dérivée : fonction dérivée d’une fonction, sur un intervalle. Dérivée des fonctions x x 3 semaines x a a, x a x, x a x ², x a x3 , x a cos x, x a sin x, x a ln x, x a e x , x a eax 1 dérivée de la

………… [pic] ……….si a est …………..et b est ………… (attention à envisager tous les cas) [pic]…………………………………. Par exemple [pic] …………………………. III Extraction : Chaque fois qu’on voit une racine carrée il faut essayer de sortir (d’extraire) le plus grand nombre possible. Pour cela il faut faire apparaître à l’intérieur (dans le radicande) le plus grand carré possible. Exemples : [pic] ou [pic] Exercice : simplifier au maximum [pic]= ……………………………….. = ……………………………….. = …………………..= …….. IV Conjugaison :

VECTEURS ET DROITES I. Colinéarité de deux vecteurs Définition : Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction c’est-àdire qu’il existe un nombre réel k tel que u  kv . Critère de colinéarité : x  x' Soit u et v deux vecteurs de coordonnées   et   dans un repère (O, i , j ).  y  y ' Dire que u et v sont colinéaires re ient dire que les coordonnées des deux ecteurs sont proportionnelles soit : xy’ – yx’ = 0. Démonstration : Exemple :

fonction définie sur R par h(x) = g(x) e – a x. Montrer que h est une fonction constante. c) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation y’ = ay. 2) On considère l’équation différentielle (E) : y’ = 2y + cos x. a) Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction f 0 définie sur R par : f 0 (x) = a cos x + b sin x soit une solution f 0 de (E). b) Résoudre l’équation différentielle (E0) : y’ = 2y. c) Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f

fonction g: x∈[-π, π] → ex. Comme g est C ∞ sur [-π, π], la restriction de f à ]-π, π[ est prolongeable par continuité en une fonction C ∞ sur [-π, π]. f étant 2π-périodique, f est C ∞ par morceaux sur IR.  b-) On utilise les coefficients complexes de Fourier qui sont plus faciles à calculer. π 1 ⌠ π t –int 1 ⌠ π (1 – in)t 1 + in (-1)n.(1 + in).sh(π) ∀n∈Z cn = Z, e .e .dt = e .dt =  e(1 – in)t = 2π(n2 + 1)  2π ⌡–π 2π ⌡–π π(n2 + 1)  –π Comme f est à valeurs réelles, sh(π) (-1)n.2.sh(π)

FONCTIONS A VALEURS COMPLEXES 1) COMPLEMENTS SUR LES SUITES DE REELS. A) Introduction. Une suite infinie à valeurs réelles n’est après tout qu’une fonction à valeurs dans R dont l’ensemble de définition est N ou plus généralement une partie du type N[n0 , +[ . A ce titre, tous les résultats concernant les fonctions de variable et d’image réelles pourront être utilisés, notamment ceux relatifs à l’étude des limites en +. Rappelons en particulier deux résultats essentiels. _ Le théorème