E Logistique

1 3x + 6 dx ; D = ∫ (2 x + 1)3dx ; E = ∫ dx ; T = ∫ 2 2 4 0 1 ( x + 4 x + 3) 0 5x 2 C=∫ 1 x (x ) +1 2 3 dx π π 3 e ln x 3 cos x 4 3 2 4 dx ; G = ( 3 x − + x ) dx ; J = dx ; = dx ; H = K ∫2 ∫π6 sin 2 x ∫1 x ∫04 tan( x)dx 0 (3 − 2 x ) 4 x2 F =∫ 1 π 1 L = ∫ 3 sin x cos 3 x dx ; N = ∫ x( x 2 + 1)5 dx ; 0 P=∫ 0 π 1 x + 3 dx ; D = ∫ 4π tan 2 ( x)dx −2 − 4 π 1 0 1 + ln x π dx ; R = ∫ 3 cox(2 x + )dx ; U = ∫ ( x + e x )dx ; K = ∫ ( x 2 + x) e 2 x dx 0 1 0 −1 x 3 π 1 2 π 3x tan(

calculs, jusqu'à leur remplacement, à la fin du xxe siècle, par des calculatrices. Pour les calculs, le logarithme décimal (c'est-à-dire en base dix) était le plus communément utilisé. Le logarithme népérien (ou naturel) est celui qui utilise le nombre e comme base, il est fondamental en analyse mathématique car il est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Le logarithme binaire, qui utilise 2 comme base, est utile pour les calculs appliqués, et en informatique théorique. Une échelle

estmultiplié facteur 1,12'; sur3 ansgr 1,123 ; sur5 anspari,125; ...i surN anspar1,'12N. Cetteévolution estappelée exponentielle, et doitpouv o i rs ' é v a l u earu s s ip o u rd e s n o m b r enso ne n t i e r s d'années. b) Fonction exponentielle de basea (a> 0) c'est-à-dire la fonction 10',et l'exponentielle debasee (oùe = 2,71828...), soit e',couramment appelée fonction exponentielle. Comme lemontre I'exemple grandeur introductif, toute évoluant d'unemanière multiplicative stable s'exprime

]0 ; +∞[ par la fonction ln est donc 2) Le nombre e Puisque la fonction ln est une bijection de ]0 ; +∞[ dans solution dans ]0 + ∞[. Définition On note e l'unique solution de l'équation ln x = 1. Ce nombre e s'appelle base du logarithme népérien.   . , pour tout réel λ l'équation ln x = λ admet une unique On a donc ln e = 1. Le nombre e s'obtient avec une calculatrice avec la touche ex et x = 1. On obtient e Plus généralement, ln e = p ln e = p, relation pratique pour la résolution des équations

est unique et est noté e ( exp(1) = e1 = e ) Ce nombre e est un nombre irrationnel proche de 2,718. On peut alors adopter la notation exp(x) = ex 6. La fonction f(x) = e = exp(x) Etude des limites : de - ¥ . x® + ¥ x lim e x = + ¥ ; lim ex = 0 ; asymptote d'équation y=0 (=axe des abscisses) au voisinage x® - ¥ ex -1 = 1 donc pour x voisin de 0 on a : ex @ 1 + x , on a alors pour n assez grand e x®0 x lim et aussi Tableau de variation 1 @ æ 1+ ö ç ÷ è nø n e = + ¥ ; lim xe x = 0

Conjecture de Goldbach : approches alg´brique et e g´om´trique bas´es sur les restes modulaires e e e Denise Vella 1er Novembre 2008 1 Introduction La conjecture de Goldbach (1742) ´nonce que tout nombre pair 2a sup´rieur e e ou ´gal ` 4 est la somme de deux nombres premiers p et q. Le nombre p et e a le nombre q sont appel´s des d´composants de Goldbach de 2a. Cette note e e pr´sente deux visions de la conjecture de Goldbach, une vision alg´brique et e e une vision g´om´trique, toutes deux bas´es

n  a mn 6- a   a m n m/ n Une base importante pour les fonctions exponentielles est le nombre e , appelé ainsi en n l’honneur de Léonard Euler. Il s’agit de la limite de 1 1 n  lorsque n   . Son approximation numérique est 2,718281828… 2 Création Nicolas Vaillant, modifications M.Buisine – Mathématiques – L1 Gestion & CFA Comme e  1 , y  e x est une fonction exponentielle croissante. On l’utilise lorsqu’une quantité exponentielle change continument ; c’est

de Terminale e STG F.Gaudon 16 f´ vrier 2008 e Table des mati` res e 1 Probabilit´ s (rappels) e 2 3 4 ´ e Ev´ nements Calculs de probabilit´ s e Probabilit´ s conditionnelles e 4.1 Notion de probabilit´ conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2 Arbre pond´ r´ s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 4.3 Ind´ pendance d’´ v´ nements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 2 3 4 5 5 6 7 1 1 Probabilit´ s (rappels) e D´ finitions : e • Une exp´ rience

soit ln ( x 2) = 2 ln x ; c) Pour tout entier naturel n, ln (x n ) = ln ( x n–1) + ln (x) = ln (x n–2) + ln (x ) + ln x = …. = n ln (x) ; 1 1 1 1 ) = ln 1, donc ln ( x × ) = 0, d'où ln x + ln ( ) =0, soit ln ( ) = – ln x ; d) ln ( x × x x x x x 1 1 e) ln ( ) = ln (x × ) = ln (x) + ln ( ) = ln x – ln y ; y y y 1 f) Pour tout entier naturel n, ln ( n ) = ln(x– n) = – n ln x . x Bilan : pour tous nombres réels a et b strictement positifs on a : ln ( ab) = ln a + ln b ; a ln ( ) = ln a – ln b ; b 1 ln

tons du chinois mandarin sur une échelle de 5 Les tons du pinyin se notent sur les voyelles. Le ton est noté sur la voyelle médiane (en chinois on distingue l'intiale, la médiane et la finale). En général l'ordre d'importance est le suivant : a, o, e, u, i. Exemple : mǎi, huā, jiā, dōu, shuō, què, suì, xiě. Mais pour "u" et "i" le ton se place toujours sur la deuxième lettre : iū, uī. Les consonnes du pinyin Les consonnes F, L, M S et la voyelle Y se prononcent comme le français. Le français