Élimination de Gauss-Jordan

divers : en cryptographie, en calcul, en optique géométrique... Auparavant de nombreux scientifiques de renom comme Leibniz, Cramer, Gauss (pivot de Gauss et approximation de Gauss en optique géométrique), Sylvester (inventeur du terme « matrice », matrice de Sylvester), Hamilton (mécanique), Grassmann se servait de cette méthode pour résoudre certains problèmes (Gauss par exemple) ou encore découvrir de nouvelles formules(Grassmann pour ne citer que lui). Les modélisations matricielles sont de nos

Leçon 3 : Résolution des systèmes d’équation linéaires : la méthode du pivot Comme promis dans la leçon précédente, nous allons présenter ici un moyen systématique pour résoudre des systèmes d’équations linéaires. La méthode que nous allons exposer pourra paraître fastidieuse à un certain nombre de lecteurs. Certains auront l’habitude d’autres méthodes « personnelles », d’autres connaîtront « la solution par cœur » et sauront résoudre les équations en appliquant la méthode du déterminant, ou .

l’écriture du PL la technique de Gauss s’applique à des systèmes d’équations alors que nous avons ici des inéquations. Transformons alors l’écriture du PL. Introduisons la nouvelle variable d qui représente le nombre d’heures de travail inutilisées dans l’atelier Découpe : d= 3000 − 3v − 5p Les deux écritures suivantes sont alors équivalentes : S5-Programmation linéaire- Chapitre 4 Salma DASSER 8 Transformation de l’écriture du PL la technique de Gauss s’applique à des systèmes d’équations

détérminant est non nul c’est à dire det(A) 6= 0; on peut résoudre soit avec la méthode de Cramer ou Pivot de Gauss ( De préférence avec la méthode de Cramer) La méthode de Cramer donne une solution unique c’est à dire un Point. Si le détérminant est nul ( det(A) = 0), Alors le sysltéme n’est pas de Cramer est on utilise juste la méthode du Pivot de Gauss. Dans le cas de det(A) = 0, la méthode de Gauss donne 3 cas:(Ce qui est () c’est pour P \ P 0 \ P ") 0 1 1er cas : comme exemple @ 0 0 0 1 : @ 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 25 27 29 30 32 32 33 34 35 36 37 37 37 37 37 38 38 39 39 39 41 4 Systèmes Linéaires, Méthode du Pivot de Gauss 4.1 Transformations des matrices . . . . . . . . . . . 4.2 Réduction des matrices ; Méthode du Pivot Gauss 4.3 Recherche de l’inverse d’une matrice carrée . . . . 4.4 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Formules de Crammer Cette méthode nécessite le calcul d'un déterminant, dont la complexité est en n!. La compléxité de la formule de Cramer est en n 2 n!. Par conséquent, cette méthode n'est pas utilisable en informatique. Méthode du pivot de Gauss  ai ,k i > k , Ligne i −  a  k ,k n3 L'algorithme à une complexité en . 3 À la kème étape : pour  a  Ligne k . On pose l i ,k = i , k .  a k ,k  Le problème des coefficients diagonaux nuls : il faut permuter les lignes lorsque apparaît

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.2. Systèmes à 3 variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3. La méthode du pivot de Gauss par des exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Premier exemple : solution unique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Deuxième exemple : aucune solution. . . . . .

le système suivant : avec  Première étape du pivot de Gauss pour éliminer les variables dans les lignes et  :  Seconde étape du pivot de Gauss pour éliminer les variables dans la ligne  :  En remontant le système, on obtient aisément la solution du système : Algorithme de la méthode du pivot de Gauss : Triangularisation Soit la matrice échelonnée du système, on a alors Algorithme de la méthode du pivot de Gauss : Remontée et résolution À présent la matrice du système linéaire

colinéaires à leurs images. 7. Un exemple Considérons l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est : Cherchons les valeurs de (si elles existent) telles que On a ne soient pas inversibles. On procède par le pivot de Gauss avec toutes les précautions voulues et l'on trouve trois valeurs : On détermine alors les noyaux des endomorphismes On obtient trois espaces de dimension 1 et donc trois vecteurs tels que Ces trois vecteurs sont libres. Ils forment donc une base

Exemple 2 : (3 équations & 3 inconnus) ) x +5y + z = 2 S: 2x +2y −z = 4 − x + y + z =3              Résolution des systèmes linéaires (Partie 1) Algorithme de Gauss « C’est la Méthode d’élimination » L’algorithme de Gauss (ou la Méthode de Gauss), plus connu sous le nom de : La méthode de Pivot de Gauss, est la méthode la plus rapide pour résoudre un système linéaire 5 21/10/2010 Pour résoudre un système linéaire, nous utilisons : La méthode du Pivot Partiel Ou La méthode