Endomorphisme autoadjoint

L’essentiel du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 5. Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 5.2 5.3 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2e année Réduction des endomorphismes 2e année 189 161 Applications linéaires 1re année et 2e année 60 165 Polynômes annulateurs 192 2e année 61 170 172 175 Espaces préhilbertiens 194 2e année Applications linéaires particulières 1re année 62 63 64 65 Orthogonalité 2e année 199 54 55 56 57 Écritures matricielles 1re année Espaces vectoriels euclidiens 2e année 203 Calcul matriciel 1re année Endomorphismes orthogonaux 2e année 204

finie 69 32 Applications linéaires en dimension finie 71 33 Matrices 76 34 Calcul matriciel 82 35 Équations linéaires 85 36 Déterminants 88 37 Calculs de déterminants 91 38 Rang de matrices 94 39 Projections 98 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . 40.4 Polynômes caractéristique . 40.5 Polynômes annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2e année Réduction des endomorphismes 2e année 197 169 Applications linéaires 1re année et 2e année 62 173 Polynômes annulateurs 200 2e année 63 178 180 183 Espaces préhilbertiens 202 2e année Applications linéaires particulières 1re année 64 65 66 67 Orthogonalité 2e année 207 56 57 58 59 Écritures matricielles 1re année Espaces vectoriels euclidiens 2e année 211 Calcul matriciel 1re année Endomorphismes orthogonaux 2e année 212

34 Calcul matriciel 35 Équations linéaires 36 Déterminants 37 Calculs de déterminants 38 Rang de matrices 39 Projections 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . . . 40.4 Polynômes caractéristique . . . 40.5 Polynômes annulateur . . . . . . 40.6 Endomorphismes de composition 40.7 Similitude . . . . . . . . . . . . 40.8 Usage de la réduction . . . . . . 40.9 Réduction par blocs . . . . . . . .

e 99 26 Int´grales : compl´ments e e 103 ` ALGEBRE 3 108 27 Groupes : g´n´ralit´s e e e 108 28 Anneaux et corps 112 29 Groupes finis 116 30 Groupes quotients 120 31 Espaces euclidiens 122 32 Endomorphismes particuliers 129 33 Polynˆmes d’endomorphismes o 134 34 R´duction d’endomorphismes : diagonalisation e 137 35 R´duction d’endomorphismes : autres r´ductions e e 144 V VI ANALYSE 3 152 36 Fonctions convexes

Arithmétique dans Z 1.5 Polynômes et fractions rationnelles 1.6 Généralités sur les applications 1.7 Applications linéaires – Espaces vectoriels 1.8 Matrices – Déterminants – Systèmes linéaires 1.9 Espaces vectoriels euclidiens 1.10 Réduction des endomorphismes 1 1 2 5 7 8 11 12 17 22 26 2. Analyse 2.1 Espaces vectoriels normés 2.2 Nombres réels 2.3 Nombres complexes 2.4 Suites 2.5 Fonctions réelles de la variable réelle 2.6 Dérivation 2.7 Intégration 2.8 Équations différentielles 2.9 Séries 2.10 Séries

alors ´Üµ ´Þ µ ´Ûµ et donc ´Üµ ´Ûµ ¦ Ú ¿℄ : est injective. ¨ ¦ Ú ℄ ´¼½µ Ò : ¡ ½µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ¨ ¾ Ä Ä ´ µ Ä ´ µ º ¾µ ÇÒ ×ÙÔÔÓ× Ò Ø Ú º ÉÙ Ô ÙعÓÒ Ö ¯ ¼ ´ µ ¾ Ä´   ÃÖ ÁÑ ¡ Á Cf. aussi les exercices RNG.1, DIA.17, DIA.21 et ALG.36. Endomorphismes nilpotents § LINº½ ËÓ Ø Ù ÙÒ Ò ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ò ÐÔÓØ ÒØ ³ÓÖ Ö ¿ Ê ¦ Ú ¼℄ ¾ Ê¿ tel que Ù¾ ´Üµ Alors Ñ Ò On a Ù¿ ¼ et Ù¾ ¼ et bien sˆur Ù¿ ´Üµ   Ü ´Üµ ¼. ¼. On peut donc trouver Ü ¾ ´Üµ¡ est une base de Ù Ò ¾¼¼¿ Ï ÐØ Ö ÔÔ Ð ¿ ¼ et Ñ

matrice autoadjointe se comporte un peu comme un nombre r´el. Ce e cas peut effectivement se produire en m´canique quantique. e ` Cependant, en g´n´ral, les alg`bres de matrices ne suffisent pas. A vrai dire, on peut constater que les e e e matrices de Heisenberg n’en sont pas vraiment, puisqu’elles sont infinies. Mais il existe en math´matique e une g´n´ralisation des alg`bres de matrices qui convient parfaitement. On sait que les matrices carr´es e e e e n×n repr´sentent des endomorphismes d’un C-espace

Remarque. Soit E et F des Banach et T lin´aire de E vers F . Pour montrer la continuit´ de e e T , il suffit donc d’´tablir que pour toute suite (xn )n∈N de E telle que (xn , T (xn ))n∈N converge e vers (x, y), on a y = T (x). Exercice : Soit T un endomorphisme sur L2 ([0, 1]). On suppose T continu de (L2 ([0, 1]); · L2 ) ` e e e dans (L2 ([0, 1]); · L1 ). A l’aide du th´or`me du graphe ferm´, montrer que T est aussi continu 2 ([0, 1]); · 2 ([0, 1]); · de (L L2 ) dans (L L2 ). F ≤ max( x E,