Endomorphisme autoadjoint

Soit u : E → F une application lin´aire. On suppose e que u est bijective. Alors u−1 est un isomorphisme. D´f. 20. Soit E un K-ev. On appelle endomorphisme de E une application lin´aire de E e e dans E. 2 D´f. et rq. 21. Soit E un K-ev. Soit γ ∈ K. L’application de E dans E qui a x assoe ` cie γx est appel´e homoth´tie de rapport γ. C’est un endomorphisme de E. e e Rq. 22. Soit E un K-ev. Alors l’homoth´tie de rapport 1K est l’identit´ de E, l’homoth´tie e e e de rapport 0K est l’application

Endomorphismes normaux Notations. — Dans la suite K d´signe un corps commutatif de caract´ristique = 2 (et le plus e e souvent K = R ou C). 1. Endomorphismes remarquables d’un espace quadratique. D´finition . — On dit dit que le couple (E, φ) est un espace quadratique lorsque e E est un K-espace vectoriel et φ une forme bilin´aire sym´trique non d´g´n´r´e sur E, ie : e e e e e e ∀x ∈ E, (∀y ∈ E, φ(x, y) = 0 ⇒ x = 0). Dans la suite de cette section, on fixe (E, φ) un espace quadratique. D´finition

dimension finie n 2. On note GL(E) le groupe (pour la composition des applications) des automorphismes de E et SL(E) l’ensemble des endomorphismes de E de déterminant 1. id E désigne l’application identité de E. On appelle involution de E un automorphisme u de E tel que u 2 = id. E ∗ désigne l’ensemble des formes linéaires de E. On appelle transvection de E tout endomorphisme t de E différent de id E possédant les deux propriétés suivantes : (1) il existe un hyperplan H de E tel que : ∀x ∈ H , t(x) = x

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable. 1. Soit v ∈ C(u). Soient i ∈ 1, p et x ∈ Eλi (u). Puisque v commute avec u, v commute encore avec f − λi Id et (f − λi Id)(v(x)) = v((f − λi Id)(x)) = v(0) = 0. Ainsi, ∀i ∈ 1, p , ∀x ∈ E, (x ∈ Eλi (u) ⇒ v(x) ∈ Eλi (u)) et on a donc montré que si v ∈ C(u), chaque Eλi (u) est stable par v. 2. 3. Soit i ∈ 1, p . ui est l’homothétie de rapport λi . Si v ∈ C(u), d’après 1., pour chaque i, la restriction vi de v à Eλi (u) est un endomorphisme de Eλi (u).

´ Exercices - Reduction des endomorphismes : ´nonc´ e e ´ Reduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Sp´ e Diagonaliser les matrices suivantes : 0 3 2 0 2 −1     A =  3 −2 0  B =  −2 5 2  . 2 −3 0 −2 2 1 On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique ` la base de vecteurs propres. a     Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´ e Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π

nécessaire et suffisante sur F et G pour qu’il existe un endomorphisme f de E tel que F = Kerf et G = Imf. no 21 (***) : Soient E un espace vectoriel non nul de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer que : 1) (f non injective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à gauche). 2) (f non surjective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à droite). no 22 (*** I) : fn = 0. Soient E un espace de dimension finie n non nulle et f un endomorphisme nilpotent de E. Montrer que  8 no 23 (***I) : Soient

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés Exercice 7 [ 03156 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer ∀k, ∈ N, dim ker uk+ dim ker uk + dim ker u 1 Eléments d’algèbre linéaire Généralités d’algèbre linéaire Exercice 1 [ 00159 ] [correction] Soit f ∈ L(E) tel que pour tout x ∈ E, x et f (x) soient colinéaires. Montrer que f est une homothétie vectorielle. Projecteurs Exercice 8 [ 00165 ] [correction] Soient p et

euclidiens 2.4.1 Définitions fondamentales 2.4.2 Isométries affines du plan 2.4.3 Isométries affines de l'espace 2.4.4 Similitudes planes 2.4.5 La condition de cocyclicite 2.4.6 Applications aux similitudes directes 3. Coniques 3.0 Diagonalisation des endomorphismes symétriques 3.1 Equations d'une conique 3.2 Intersection d'une droite et d'une conique 3.2.1 Cas d'une ellipse ou d'une hyperbole 3.2.2 Cas d'une parabole 3.2.3 Tangente a une ellipse ou une parabole 3.2.4 Points d'ou l'on mène une tangente 3

Devoir Libre n◦ 2 PSI MATHEMATIQUES (` rendre le 16 septembre 2011) a Soit E un K espace vectoriel (K = R ou C) et u un endomorphisme de E. On d´signe par keru le noyau de u et Imu l’image de u. e Pour tout entier k strictement positif, uk d´signe l’endomorphisme u ◦ u ◦ u · · · ◦ u (k e fois) et u0 d´signe l’application identique de E. e PREMIERE PARTIE ADans cette partie, E d´signe un espace vectoriel sur R dont une base est B = (e1 , e2 , e3 , e4 ). e Soit u l’endomorphisme de E tel que

nécessaire et suffisante sur F et G pour qu’il existe un endomorphisme f de E tel que F = Kerf et G = Imf. no 21 (***) : Soient E un espace vectoriel non nul de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer que : 1) (f non injective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à gauche). 2) (f non surjective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à droite). no 22 (*** I) : fn = 0. Soient E un espace de dimension finie n non nulle et f un endomorphisme nilpotent de E. Montrer que  8 no 23 (***I) : Soient