Endomorphisme autoadjoint

Ep = ker Dp+1 . Ep ´etant stable par D et g, les endomorphismes induits g p et Dp v´erifient la mˆeme relation. b. De mˆeme que pr´ec´edemment puisque D est un polynˆ ome en g et E n = ker Dn+1 . c. i/ • F est de dimension finie (n + 1) donc engendr´e par une famille finie F de polynˆ omes. Etant finie, F est incluse dans un sous espace Eq donc F ⊂ Eq . Dans ce cas D q+1 F = {0} donc l’endomorphisme induit de DF est nilpotent. DF est un endomorphisme nilpotent en dimension n + 1 donc D Fn+1 = 0 (pr´eliminaire

à n . Pour tout polynôme P ∈ ℝ [X ] on pose ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ) . Partie I 1.a Montrer que ∆ est un endomorphisme de ℝ [X ] . 1.b On suppose que P est un polynôme constant, préciser ∆(P ) . On suppose que deg P ≥ 1 , déterminer deg(∆(P )) . 2. Soit n ∈ ℕ∗ . On note ∆n la restriction de ∆ au départ de ℝ n [X ] . 2.a Justifier que ∆n est un endomorphisme de ℝ n [X ] . 2.b Déterminer le noyau de ∆n . 2.c Déterminer le rang puis l’image de ∆n . 3.a Déduire

des polynˆmes ` une ind´termin´e. e e ee o a e e En seconde ann´e, le programme d´veloppe de nouveaux concepts (dualit´, polynˆmes d’endomorphismes, e e e o valeurs propres et sous-espaces propres, r´duction des endomorphismes d’un espace vectoriel et des e MP 3 endomorphismes sym´triques d’un espace vectoriel euclidien, r´duction des matrices). Il comporte en outre e e quelques compl´ments d’alg`bre g´n´rale (arithm´tique, polynˆmes). e e e e e o d) Secteur de la g´om´trie et de ses interventions

. . . . . . . . . . . . . e e e e 3.2.1 Espaces vectoriels, applications lin´aires . . . . . . . . e 3.2.2 Formes bilin´aires sym´triques et formes quadratiques e e ´ 3.3 REDUCTION DES ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . 3.3.1 Sous-espaces stables, polynˆmes d’un endomorphisme o 3.3.2 R´duction d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . e 3.4 Espaces euclidiens, g´om´trie euclidienne, espaces hermitiens e e 3.4.1 Espaces pr´hilbertiens r´els . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.4.2 Espaces euclidiens

DEUG II MATHEMATIQUES ALGEBRE 4 COURS ET EXERCICES RESOLUS Dr Ko¢ Germain ABALO 3eme édition - Table des matières 1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES REDUCTION DE JORDAN 1.1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Résultats de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Polynôme minimal d’ endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . un 1.1.3 Sous espace caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Etude de

. . . Tout hyperplan contient une matrice inversible . . . . . . . . . . . . . . . Résultant de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indépendance de familles de fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . Endomorphismes laissant stable tous les hyperplans . . . . . . . . . . . . Espace normaux et lemme d’Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compactification d’Alexandroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Banach-Steinhaus

Chapitre 1 Mécanique Chapitre 2 Electrocinétique Lecture des œuvres Horace de CORNEILLE Création d’une fiche d’exemples Partie 4 Chapitre 1 Algèbre générale Partie 4 Chapitre 2 Algèbre linéaire et géométrie affine Partie 4 Chapitre 3 Réduction des endomorphismes Partie 3 Chapitre 3 Electromagnétisme Partie 4 Chapitre 4 Espaces euclidiens, géométrie euclidienne, espaces hermitiens Partie 3 Chapitre 1 Etude des systèmes Partie 3 Chapitre 4 Samedi 22 mars Mathématiques Dimanche 23 mars Physique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 23 23 24 25 26 27 Réduction des endomorphismes 6.1 Polynômes d’endomorphismes . . . . . . . 6.2 Valeurs propres et espaces caractéristiques 6.3 Diagonalisabilité et trigonalisabilité . . . . 6.4 Topologie de l’algèbre des matrices . . . . 6.5 L’exponentiation matricielle . . . . . . . . .

64 12 points Soit (A,B) ∈ Mn (C)2 sans valeur propre commune. a. Montrer que χA (B) est inversible b. Montrer que ∀X ∈ Mn (C), (AX = XB ⇔ X = 0) c. Montrer que ∀M ∈ Mn (C),∃X ∈ Mn (C), unique / AX − XB = M CCP 65 12 points E euclidien et u endomorphisme de E tel que u ◦ u∗ = u∗ ◦ u 1. Montrer que ker u = ker u∗ et que u et u∗ ont les mˆmes valeurs propres et les mˆmes vecteurs propres e e 2. Montrer que deux vecteurs propres associ´s ` deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux e a ⊥ 3.

R) l’espace vectoriel des fonctions continues de R+ dans R. A toute fonction fE on associe la fonction g : R+  R définie par g(x) = . si x > 0 , g(0) = f(0) . On note g = (f). 1) Montrer que  est un endomorphisme de E. Est-il injectif ? Est-il surjectif ? Déterminer avec soin son image. Si fE, g = (f) est-elle toujours dérivable en 0 ? 2) Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de . 3) On note F l’ensemble des fonctions fE telles que