Endomorphisme autoadjoint

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e

tout sous-espace propre pour uA est stable par uB (c’est un r´sultat e du cours). Notons λ1 , . . . , λk les valeurs propres de A deux ` deux distinctes et E1 , . . . , Ek les a sous-espaces propres associ´s. Ej ´tant stable par uB , uB induit un endomorphisme vj sur Ej . e e Or, la restriction ` un sous-espace stable d’un diagonalisable est diagonalisable (autre r´sultat a e du cours) et vj est donc diagonalisable. Il existe une base Bj de Ej form´e de vecteurs propres e pour vj et donc pour uB . De

 i −1 2i   I =  2 0 1 . −1 0 1   Exercice 13 - Matrice inverse et polynˆmes - L1/Math Sup o Soit A la matrice de Mn+1 (C) d´finie par ai,j = e j−i i−1 si i ≤ j, ai,j = 0 sinon. 1. Interpr´ter A comme la matrice d’un endomorphisme de Rn+1 [X]. e 2. En d´duire que A est inversible, et calculer son inverse. e Exercice 14 - Matrice ` diagonale dominante - L1/Math Sup a Soit A ∈ Mn (C) une matrice ` diagonale dominante, c’est-`-dire que pour tout i ∈ {1, . . . , n}, a a

les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P. 3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace vectoriel sur un corps K (K = R ou C), et u un endomorphisme de E. On suppose u nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe un entier strictement positif n tel que un = 0. 1. Montrer que u n’est pas inversible. 2. Déterminer les valeurs propres de u et les sous-espaces propres associés. Correction Exercice

lois ∗ et T. Soit f une application de E dans F . On dit que f est un homomorphisme (ou un morphisme) de (E, ∗) dans (F, T) si : ∀ (x, y) ∈ E 2 , f (x ∗ y) = f (x)Tf (y). Cas particuliers – Un morphisme de (E, ∗) dans (E, ∗) est appel´ un endomorphisme de (E, ∗). e – Un morphisme bijectif de (E, ∗) dans (F, T) est appel´ un isomorphisme. e – Si un tel isomorphisme existe, on dit que (E, ∗) et (F, T) sont isomorphes. D’un point de vue math´matique, deux ensembles isomorphes ont exactement

Correction 1.a 1.b u n est un endomorphisme de E et on sait qu’image et noyau d’un endomorphisme sont des sous-espaces vectoriels. ∀y ∈ Fn +1 = Im u n +1 , ∃x ∈ E tel que y = u n +1 (x ) donc y = u n (u (x )) ∈ Im u n = Fn . Ainsi Fn +1 ⊂ Fn . ∀x ∈ Gn = ker u n , on a u n +1 (x ) = u (u n (x )) = u (o ) = o donc x ∈ ker u n +1 = Gn +1 . Ainsi Gn ⊂ Gn +1 . 2. F ⊂ E . Pour tout n ∈ ℕ , o ∈ Fn car Fn est un sous-espace vectoriel de E , donc o ∈ F . Soit λ , µ ∈ ℝ et x , y ∈ F . Pour tout

propre λi . 7. Démontrer que Kp = C1 ⊕ · · · ⊕ Ck . 8. (a) Soit v un endomorphisme de Kp qui commute avec u et Q un polynôme à coefficients dans K. Démontrer que Ker Q(u) est stable par v. (b) En déduire que pour tout i ∈ {1, . . . , k}, le sous-espace caractéristique Ci est stable par u. On note ainsi uCi l’endomorphisme induit par u sur Ci . 9. Soit i ∈ {1, . . . , k}. Justifier que l’application uCi − λi idCi est un endomorphisme de Ci nilpotent. 10. En déduire que la matrice A peut s’écrire sous

[correction] Soit J : C([0, 1] , R) → R définie par J(f ) = Montrer que J est une forme linéaire. 1 0 f (t) dt. Exercice 28 [ 01706 ] [correction] Soit ϕ : C ∞ (R, R) → C ∞ (R, R) définie par ϕ(f ) = f − 3f + 2f . Montrer que ϕ est un endomorphisme et préciser son noyau. Exercice 29 [ 01707 ] [correction] Soient a un élément d’un ensemble X non vide et E un K-espace vectoriel. a) Montrer que Ea : F(X, E) → E définie par Ea (f ) = f (a) est une application linéaire. b) Déterminer l’image

soit donc . Proposition : , est une -algèbre Exemple : c. Propriété algébrique de polynôme d’endomorphisme Théorème : Si , Est un morphisme de groupe de -algèbre. , et Définition : est une sous algèbre de d. Polynôme endomorphisme et SEV stable Proposition : , , stable par et stable par f Conséquence : stable par . , , . Proposition : Si , si et si est un SEV stable par f Alors e. Polynôme annulateur Définition : Si , si on dit que est un polynôme annulateur

déduireque E est stablepour le produit matriciel. A-t en fonctionde,4. et 3) ialculer e2.eÀdéduire que Aèst inversible exprimer maintenantl'application rpl qui à toute matriceM de E associe: 4) On considère qe(lut):AMA-'. de a) Montrer gve gt est un endomorphisme E. de que çl estun automorphisme E. b) DéterminerKerrpspuis montrer 5) a) Écrire la matrice Qe de gt dansla base(1,J, K,I), puisjustifier gue Qt est diagonalisable' propresassociés. b) Donner les valeurspropresde q1 ainsique les sous-espaces On