Endomorphisme

que σ est un tenseur sym´ etrique. 3.2.7 Diagonalisation du tenseur des contraintes - Repr´ esentation de Mohr Dans cette section on raisonne ` a x et t fix´e, et on note σ le tenseur σ(x,t). D’apr`es la th´eorie des endomorphismes vue en classes pr´eparatoires, σ, endomorphisme sym´etrique de R3 , est en cons´equence diagonalisable sur une base orthonorm´ee {ni }. Ces vecteurs propres d´efinissent des directions propres que certains appelent aussi directions principales des contraintes. Les valeurs

notamment dans la théorie des codes et dans la théorie des langages. 3. HOMOMORPHISME f une application d'un ensemble E muni de loi interne notée * vers un ensemble F muni de la loi interne notée ο, est un homomorphisme ou simplement morphisme (endomorphisme si E=F) si et seulement si pour tout couple (x;y) de E x E on a: f(x * y) = f(x) ο f(y). - Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif. Exemple 2 : soient 2 ensembles : 1. E: ensemble des chaînes de caractères avec la loi interne concaténation

d’exercice, car on peut largement s’en passer a a dans la pratique. Nous allons maintenant, et pour le reste du chapitre, nous consacrer aux propri´t´s sp´cifiques des matrices carr´es, qui g´n`rent des applications lin´aires ee e e e e e Rn −→ Rn dites endomorphismes. Le th´or`me qui suit donne l’une de leurs e e propri´t´s les plus remarquables : ee Th´or`me ”bij/inj/sur” : e e (pour les matrices carr´es de dimensions n × n, assimil´es, l` encore, aux e e a applications lin´aires correspondantes). e On a

as a control. What we propose is a general framework of investment-production possibilities. The investment possibilities are given by a model of a nancial market and/or possible nancial strategies. The production possibilities are given by an endomorphism R on the set of assets in the nancial market. The production asset can transform some asset into others, with possible random factors (prices, failures). The contribution of the second chapter is then a re-edition of the closedness property

est la transposée du vecteur V . TEC IQ HN UE (9.0.3) 256 Chapitre 9 – Textes et corrigés d’examens (b) Justifier que Sn est un vecteur gaussien centré de matrice de covariance égale à la matrice identité. (c) Déterminer un endomorphisme A de Rn tel que Tn = ASn pour tout n ≥ 1, où Tn = t (B1 , B2 , · · · , Bn ) ∈ Rn . (d) En déduire que Tn est un vecteur gaussien dont on précisera la moyenne et la matrice de covariance. 3. Montrer que la suite de terme général n−1 Bn , n

le groupe des ´l´ments inversibles de L(H s (RN )) — l’alg`bre des ee e endomorphismes continus sur H s (RN ). (Rappelons que l’ensemble des ´l´ments ee inversibles de L(H s (RN )) muni de la composition des endomorphismes forme un groupe.) 1 9.3. EFFETS DISPERSIFS 311 Le point b) signifie que le groupe (U (t))t∈R est un “groupe unitaire sur H s (RN )” car pour tout t ∈ R, l’endomorphisme U (t) est un endomorphisme unitaire sur H s (RN ). Enfin, le point c) signifie que le groupe (U (t))t∈R

IR. 1. Montrer que F est un espace vectoriel sur IR et que B = (f1 , f2 , f3 ) est une base de F . 2. On consid`re l’application φ, qui ` tout ´l´ment f de F associe sa fonction d´riv´e : φ(f ) = e a ee e e f . Montrer que l’application φ est⎞ endomorphisme de F et que sa matrice relativement ` un a ⎛ −1 1 0 ⎜ ⎟ la base B est A = ⎝ 0 −1 2 ⎠ . 0 0 −1 3. V´rifier que A est inversible et calculer A−1 , l’inverse de A. e 4. Soit g la fonction d´finie sur IR par g(x) = (3 − 2x + 8x2 )e−x . Expliquer comment

∈ IR. 1. Montrer que F est un espace vectoriel sur IR et que B = (f1 , f2 , f3 ) est une base de F . 2. On consid`ere l’application φ, qui `a tout ´el´ement f de F associe sa fonction d´eriv´ee : φ(f ) = f . Montrer que l’application φ estun endomorphisme de F et que sa matrice relativement `a  −1 1 0   la base B est A =  0 −1 2  . 0 0 −1 3. V´erifier que A est inversible et calculer A−1 , l’inverse de A. 4. Soit g la fonction d´efinie sur IR par g(x) = (3 − 2x + 8x2 )e−x . Expliquer comment

théorique, de telle sorte qu’un candidat sérieusement préparé soit en mesure d’aborder l’ensemble des questions. PROGRAMME Algèbre Réduction des endomorphismes, diagonalisation et trigonalisation, systèmes récurrents et différentiels, dualité, formes bilinéaires et quadratiques, orthogonalisation de Schmidt, formes hermitiennes et endomorphismes unitaires, produit mixte et produit vectoriel. Analyse Espaces métriques, espaces vectoriels normés, topologie de la convergence uniforme, fonction de

d’équation z = 1, parallèle au plan de base (Oxy) (figure 1.1). Applications linéaires Soit une matrice A à p lignes et n colonnes et à coefficients réels (on note Mp,n (Ê) l’ensemble de ces matrices). On peut lui associer l’application dite linéaire, ou endomorphisme, définie dans les 1 2 z Chapitre 1. Fonctions de plusieurs variables y x Fig. 1.1 – Plan d’équation z = 1. bases canoniques de Ên et Êp , qui à un vecteur1 x = [x1 , ..., xn ]′ associe un vecteur y par Ên → Êp f: x → y =