Endomorphisme

compactes de l’identité sont injectives si et seulement si elles sont surjectives. Propriété bien connue en dimension finie (où un endomorphisme est bijectif si et seulement s’il est injectif ou surjectif), elle est remarquable 20en dimension infinie. - On renvoie à [B] pour une version précisée de ce résultat. Le point délicat est de définir l’adjoint d’un endomorphisme dans le cadre général des espaces de Banach. On notera cependant que les espaces de Hilbert forment un cadre relativement léger pour

homotopique des CW -complexes, notée ici Hot: la sous-catégorie pleine des endofoncteurs de Hot formée des auto-équivalences est équivalente à la catégorie finale. Autrement dit, toute auto-équivalence de Hot est isomorphe à l’identité, et le seul endomorphisme de l’identité est l’identité. Considérons un cas plus trivial: la catégorie des ensembles Ens . Si C et C sont deux catégories, désignons par Hom! (C , C ) la catégorie des foncteurs de C vers C qui commutent aux petites limites inductives. L’évaluation

les bases ) - Applications linéaires de Rn dans Rp , Opérations sur les applications linéaires , composée . Matrice d’une application linéaire de Rn dans Rp relativement à une base donnée, calcul de l’image d’un vecteur en utilisant la matrice. Endomorphisme de Rn, Résolution d’un système linéaire par la méthode de Gauss. DEUXIEME ANNEE CALCUL INTEGRAL -Intégrales généralisées : définition, convergence, critères de convergence pour les fonctions positives, convergence absolue. DEVELOPPEMENT LIMITE

autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1er mars 2014 Représentation linéaire matricielles d’une Enoncés application 4 Exercice 33 [ 01275 ] [correction] Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension n ∈ N vérifiant f n = 0 et f n−1 = 0 Exercice 29 [ 01269 ] [correction] Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires f suivantes : a) f : c) f : R3 → R2 (x, y

Soit E = R3. Soit p : E −→ E, (x, y, z) 7−→ 1 2 (x+ z, 2y, x+ z). 1. Déterminer la matrice M représentant p dans la base B. 2. Déterminer le noyau et l’image de p en en donnant une base. 3. Montrer qu’ils sont supplémentaires. 4. Déterminer un endomorphisme q de E vérifiant p+ q = IdE en donnant expli- citement la matrice de q dans la base B, puis en donnant l’image du vecteur (x, y, z) de E par q. 5. Déterminer le noyau et l’image de q en en donnant une base. 6. Vérifier que Imp = Kerq et Imq = Kerp

nombres complexes à la géométrie. 10 - Algèbre linéaire en dimension finie : a) Familles libres, familles génératrices, bases, dimension ; b) Applications linéaires, image, noyau ; c) Matrices, calcul matriciel, déterminant ; d) Diagonalisation des endomorphismes. STATISTIQUE 1 - Statistique descriptive : a) Indicateurs de tendance centrale. b) Indicateurs de dispersion, concentration. c) Régression linéaire, corrélation et ajustement. 2 - Statistique mathématique : a) Échantillonnage ; b) Estimation ponctuelle

par : e ∀q ∈ H : S(q) = q Soit q ∈ H, on d´finit des applications gq et dq par : e ∀q ∈ H : gq (q ) = qq , dq (q ) = q q Soit q ∈ H non nul, on d´finit une application Cq par : e ∀q ∈ H : Cq (q ) = qq q −1 1. V´rifier que S, gq , dq , Cq sont des endomorphismes de H. Lorsque q est un quaternion non e nul, exprimer dq−1 puis Cq ` l’aide du r´el N (q) et des applications S et gq . a e → → → − − − 2. a. Calculer la matrice de gq dans la base (1H , i , j , k ) en fonction de α, β, γ, δ lorsque q= avec a

s’agit donc d’un endomorphisme de l’espace R3 . Pour ˆetre coh´erent sur le plan des notations on note un tel tenseur non pas L2 mais L: L : R3 −→ x R3 −→ L(x) = L · x . (1.25) En effet un tenseur d’ordre 0 (un scalaire) ´etant not´e sans barre sup´erieure, et un tenseur d’ordre 1 (un vecteur) avec une barre sup´erieure, un tenseur d’ordre 2 m´erite bien deux barres sup´erieures 10 ! 1.3.1 Repr´ esentation par une matrice On sait qu’un tel endomorphisme est repr´esent´e

nombres complexes à la géométrie. 10 - Algèbre linéaire en dimension finie a - Familles libres, familles génératrices, bases, dimension. b - Applications linéaires, image, noyau. c - Matrices, calcul matriciel, déterminant. d - Diagonalisation des endomorphismes. STATISTIQUE 1 - Statistique descriptive a - Indicateurs de tendance centrale. b - Indicateurs de dispersion, concentration. c - Régression linéaire, corrélation et ajustement. OFFICIER DE POLICE - CONCOURS EXTERNE 10 2 - Statistique mathématique

aux valeurs absolues (notamment pour | n xi | i=1 |xi |). i=1 n n Utiliser pour des réels : (∀i, xi yi ) ∧ ( i=1 xi = i=1 yi ) ⇒ ∀i, xi = yi . n La formule de Legendre : si p premier et n > 0, la valuation p-adique de n! est k∈N∗ E pk · Le seul endomorphisme du corps R est l’identité. Caractériser les sous-groupes additifs de R : ils sont soit denses soit discrets dans R. n L’inégalité du réordonnement : si n 1 et σ ∈ Sn , Sσ = i=1 ai bσ(i) est maximale lorsque les deux suites de réels a1 , . . .