Endomorphisme

toujours assez suffisants pour me donner du plaisir, courage et forces ` travailler encore plus. a Sommaire 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Alg`bre lin´aire (r´vision programme sup) e e e Arithm´tique dans Z et K[X] e R´duction des endomorphismes e Espaces vectoriels norm´s e Calcul diff´rentiel e Dualit´ e Coniques-Quadriques Espaces vectoriels euclidiens Int´gration vectorielle e S´ries dans un Banach e Suites et s´ries de fonctions e S´ries enti`res et fonctions holomorphes e e Int´grale

annexe une introduction aux notations de la Physique (convention de sommation sur l’indice répété, etc. . .). Au Chapitre 4 on introduit le polynôme caractéristique pA d’une matrice carrée A, et on étudie la diagonalisation des matrices et des endomorphismes. On démontre directement au Chapitre 5 que pA (A) = 0 (théorème de CayleyHamilton) par la méthode des déterminants, on introduit le polynôme minimal qA d’une matrice carrée A, et on démontre le théorème de décomposition de Jordan : toute matrice

Intersection de deux sous-espaces affines, direction de cette intersection lorsqu’elle n’est pas vide. Barycentres. Parties convexes (lorsque K=R). c) Applications lin´aires e D´finition d’une application lin´aire, d’une forme lin´aire, e e e d’un endomorphisme. Espace vectoriel L(E, F ) des applications lin´aires de E e dans F . Compos´e de deux applications lin´aires, r´ciproque d’une e e e application lin´aire bijective. D´finition d’un isomorphisme, e e d’un automorphisme. Lin´arit´ des applications

p , ..., x n }, W = vect{y1 , y 2 , ..., y p } = vect{y1 , y 2 , ..., y p , ..., y n }, 5/6 on note (e p +1 , e p + 2 , ..., en ) une base orthonormale de V ⊥ et (e' p +1 , e' p + 2 , ..., e' n ) une base orthonormale de W ⊥ . Soit u un endomorphisme de E défini par : pour i ∈ { , 2, ..., p} u ( xi ) = yi et pour i ∈ {p + 1, p + 2, ..., n} u (ei ) = e'i . 1 a. Montrer que u conserve le produit scalaire. b. Pour tout entier i ∈ {p + 1, p + 2, ..., n} , montrer que y i − u ( xi ) ∈ W ∩ W ⊥ .

e e e a Exercice 15.3 Soit f l’application d´finie par f : e 1. Montrer que f ∈ L(R4 , R2 ). 2. D´terminer son noyau et son image. e Exercice 15.4 Soit f : R3 → R3 telle que f (x, y, z) = (x + 2y, 4x − y, −2x + 2y + 3z) 1. Montrer que f est un endomorphisme de R3 . 2. Montrer que 1 f est une sym´trie et la caract´riser. e e 3 R4 → R2 (x, y, z, t) → (x + 3y − 2z − 5t, x + 2y + z − t) 3. L’application f est-elle bijective ? Si oui, d´terminer f −1 . e Exercice 15.5 On consid`re l’application de R4

base (e1 , e2 , e3 ) de E. On retrouve de plus que f (−2e1 − e2 + e3 ) = 0, c’est ` dire que −2e1 − e2 + e3 ∈ ker f . a 4) Pour toute application lin´aire de source E : e dimE = dim Im f + dim ker f . Comme l’espace but de f est E (f est un endomorphisme), Im f est aussi un sous-espace vectoriel de E. Pour d´montrer que Im f et ker f sont des sous-espaces suppl´mentaires, il suffit e e de montrer que leur intersection est r´duite au vecteur nul. e D´terminons un syst´me d’´quations de Im f relativement

X 2 ) + (λP + µQ) ( X + 1 2 )] = 1 2 [ λP ( X 2 ) + µQ ( X 2 ) + λP ( X + 1 2 ) + µQ ( X + 1 2 )] = λ 2 [ P ( X 2 ) + P ( X + 1 2 )] + µ 2 [ Q ( X 2 ) +Q ( X + 1 2 )] = λf(P ) + µf(Q). Comme f est à valeurs dans R2[X], l’application f est un endomorphisme de R2[X]. b) Soient (P,Q) ∈ R2[X]2 et (λ, µ) ∈ R2. On a φ(λP + µQ) = (λP + µQ)(1) = λP (1) + µQ(1) = λφ(P ) + µφ(Q). Comme φ est à valeurs dans R, l’application φ est une forme linéaire de R2[X]. 2. a) On a f(1) = 1 2 (1 + 1) = 1, f(X) = 1 2

mathprepa.fr Page 476 19.3 Produit mixte, produit vectoriel Chapitre 19 : Espaces préhilbertiens réels Produit mixte et applications linéaires Soit u1 , u2 , . . . , un une famille de n vecteurs de l’espace euclidien orienté E. Pour tout endomorphisme f de E, on a : [f (u1 ), f (u2 ), . . . , f (un )] = (det f )[u1 , u2 , . . . , un ]. En particulier, si det(f ) = 1, on a [f (u1 ), f (u2 ), . . . , f (un )] = [u1 , u2 , . . . , un ]. On peut donc dire que les applications linéaires de déterminant

Quelles sont les matrices SR et R7 S ? b) Montrer que tout élément de G est soit une puissance Rk de R, soit un produit Rk S. Préciser le cardinal n de G. Dresser la liste de tous les éléments de G et déterminer la nature géométrique des endomorphismes canoniquement associés dans l’espace euclidien R2 . c) La transformation φS : g → S.g définit une permutation de l’ensemble G. A l’aide du logiciel de calcul formel, dresser la séquence des éléments de G et de leurs images par φS . Quelle

linéaires : Dénition 1.1.26. Les applications linéaires A : E −→ E sont appelées opérateurs linéaires sur E , ou parfois aussi endomorphismes de E . Les applications linéaires injectives (resp. surjectives) sont parfois appelées monomorphismes. (resp.épimorphismes.) Les applications linéaires bijectives sont appelées isomorphismes (d'espaces vectoriels). Enn, les endomorphismes bijectifs sont appelés automorphismes. Mémoire de DIPES II . NTSAFACK DONGMO Frank Wilson c ENS 2010 Quelques dénitions