Endomorphisme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 TABLE DES MATIÈRES 36 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 36.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.2 Valeur propre, vecteurs propres et sous espaces propres d’un endomorphisme 36.3 Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.4 Matrices carrées diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Points essentiels du cours pour la résolution des exercices • Définitions de : loi interne, commutativité, associativité, neutre, élément symétrisable, symétrique, distributivité • Définitions de : groupe, sous-groupe, morphisme de groupes, endomorphisme d'un groupe, isomorphisme de groupes, automorphisme d'un groupe • Définitions de : anneau, anneau intègre, corps, sous-corps • Définitions de : image directe, image réciproque d'une partie par une application • Les exemples usuels : anneau Z, corps

considère l’application linéaire f définie de IR3 vers IR 2 par : ∀( x, y, z ) ∈ IR3 : f (( x, y, z )) = ( x + em . y + z, em .x + y + em .z ) , A-t-on Ker ( f ) = {(0,0,0)} ? m∈ IR Exercice 2 : (3 points) Soit (G,∗) un groupe et f un endomorphisme de (G,∗) . Montrer que l’ensemble H = {x ∈ G / f ( x) = x} est un sous groupe de (G,∗) . Exercice 3 : (4 points) Dans IR3 , on considère les sous espaces vectoriels V1 et V2 définis par : { } V1 = ( x, y, z ) ∈ IR3 / x + y + z = 0 et

Points essentiels du cours pour la résolution des exercices • Définitions de : loi interne, commutativité, associativité, neutre, élément symétrisable, symétrique, distributivité • Définitions de : groupe, sous-groupe, morphisme de groupes, endomorphisme d'un groupe, isomorphisme de groupes, automorphisme d'un groupe • Définitions de : anneau, sous-anneau, anneau intègre, corps, sous-corps • Définitions de : image directe, image réciproque d'une partie par une application • Les exemples usuels

alors ´Üµ ´Þ µ ´Ûµ et donc ´Üµ ´Ûµ ¦ Ú ¿℄ : est injective. ¨ ¦ Ú ℄ ´¼½µ Ò : ¡ ½µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ¨ ¾ Ä Ä ´ µ Ä ´ µ º ¾µ ÇÒ ×ÙÔÔÓ× Ò Ø Ú º ÉÙ Ô ÙعÓÒ Ö ¯ ¼ ´ µ ¾ Ä´   ÃÖ ÁÑ ¡ Á Cf. aussi les exercices RNG.1, DIA.17, DIA.21 et ALG.36. Endomorphismes nilpotents § LINº½ ËÓ Ø Ù ÙÒ Ò ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ò ÐÔÓØ ÒØ ³ÓÖ Ö ¿ Ê ¦ Ú ¼℄ ¾ Ê¿ tel que Ù¾ ´Üµ Alors Ñ Ò On a Ù¿ ¼ et Ù¾ ¼ et bien sˆur Ù¿ ´Üµ   Ü ´Üµ ¼. ¼. On peut donc trouver Ü ¾ ´Üµ¡ est une base de Ù Ò ¾¼¼¿ Ï ÐØ Ö ÔÔ Ð ¿ ¼ et Ñ

. . . . . . . . . . . . . . . 42 12.3 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 12.4 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 12.5 R´eduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 13. Int´egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1. Ensembles - Applications Ex. 1 Dans chacun des cas suivants mettre dans l’espace ... le symbole

– Sinon, en notant n = deg P , il existe a0 , a1 , . . . , an ∈ R avec an = 0 tels que : n ∀P ∈ En ∆ (P ) ∈ En n, alors deg ∆ (P ) n. P (x) = λ Or la question pr´c´dente nous montre que si deg P e e En conclusion : ∆ induit un endomorphisme de En que l’on notera d´sormais e En . i. Soit P ∈ En . Alors : P ∈ Ker ∆n ⇐⇒ ∆ (P ) = 0 ⇐⇒ deg ∆ (P ) = −∞ ⇐⇒ deg P ⇐⇒ P ∈ E0 0 d’apr`s la question 1.a.i e ∀x ∈ R Donc ∀x ∈ R n f (x) = k=0 ak x k ∆ (P ) (x) n k = k=0 n

points) On considère l’application linéaire f définie de IR3 vers IR 2 par : ∀( x, y, z ) ∈ IR3 : f (( x, y, z )) = ( x + em . y + z, em .x + y + em .z ) , A-t-on Ker ( f ) = {(0,0,0)} ? m∈ IR Exercice 2 : (3 points) Soit (G,∗) un groupe et f un endomorphisme de (G,∗) . Montrer que l’ensemble H = {x ∈ G / f ( x) = x} est un sous groupe de (G,∗) . Exercice 3 : (4 points) Dans IR3 , on considère les sous espaces vectoriels V1 et V2 définis par : { } V1 = ( x, y, z ) ∈ IR3 / x + y + z = 0 et V2 = {(

Ce théorème montre que l’une ou l’autre des assertions suffit en réalité, ce qui est bien pratique. Démonstration Notons encore A et B les endomorphismes de Kn associés aux matrices A et B. • Montrons que B est injectif, i.e. que Ker B = 0Kn . Soit X ∈ Kn tel que BX = 0. Alors X = In X = (AB)X = A(BX) = A0 = 0, comme voulu. • Or B est un endomorphisme de Kn . Donc son injectivité implique sa bijectivité ; bref, B est un automorphisme de Kn . • Or enfin, si Bn est la base canonique de Kn

: integer) : real ; qui renvoie la valeur de un . b) En déduire un programme, rédigé en Pascal, qui permet de déterminer et d’afficher la plus petite valeur de n pour laquelle on a : 1 − un < 10−3 . Exercice 2 1) Montrer que, si f désigne un endomorphisme de ℝ 3 diagonalisable, alors l’endomorphisme f est aussi diagonalisable (on rappelle que f 2 = f 2 f ). On se propose dans la suite de montrer que la réciproque de cette assertion est fausse. Pour ce faire, on considère l’endomorphisme g de