Endomorphisme

: Dunod, DL 2008. -- (J'intègre. Série Monier). ISBN 978-2-10-051772-5 L'ensemble des nouveaux programmes d'algèbre des classes préparatoires, accompagné d'exercices corrigés. Sont abordés l'algèbre linéaire, les déterminants, la réduction des endomorphismes et des matrices carrées, les espaces préhilbertiens réels et complexes, les courbes du plan, les courbes de l'espace et surface. DISPONIBLE A LA BIB. CENTRALE 510.7 MON 36 SELECTION OUVRAGES – SECTION SCIENCES PHYSIQUE ALONSO, Marcelo Physique

2.1 Notations Dans tout ce qui suit, E et F sont deux espaces vectoriels réels munis respectivement des bases canoniques E = {ej ; j = 1, · · · , p} et F = {fi ; i = 1, · · · , n}. On note indifféremment soit un vecteur de E ou de F , un endomorphisme de E, ou une application linéaire de E dans F , soit leurs représentations matricielles dans les bases définies ci-dessus. 2.2 2.2.1 Matrices Notations La matrice d’ordre (n × p) associée à une application linéaire de E dans F est décrite

(respectivement A ) représente l'endomorphisme (application linéaire) u dans une base f formée de vecteurs propres (respectivement dans la base canonique e). La formule précédente exprime simplement le fait que les matrices Dn et A n représentent le même endomorphisme u n respectivement dans la base f et dans la base e. Le produit de deux matrices est très facile à calculer : la matrice produit est diagonale et le ième terme de sa diagonale est le produit des i-èmes termes des diagonales des deux matrices.

On dit qu’une application T : E → F est linéaire si 1. Pour tout x, y ∈ E, T (x + y) = T (x) + T (y). 2. Pour tout x ∈ E et tout λ ∈ K, T (λx) = λT (x). On note L(E, F ) l’ensemble des applications linéaires de E dans F . Si E = F , on parle d’ endomorphisme de E et on note simplement L(E, F ) = L(E). On remarque tout de suite que si T est une application linéaire, alors T (0E ) = 0F ; en effet, T (0E ) = T (0K x) = 0K T (x) = 0F . L’application E →E IdE : x →x est une application linéaire appelée

– Une application linéaire de E dans F est aussi appelée morphisme ou homomorphisme d’espaces vectoriels. L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L (E, F). – Une application linéaire de E dans E est appelée endomorphisme de E. L’ensemble des endomorphismes de E est noté L (E). 6.4. Mini-exercices Montrer que les applications suivantes f i : R2 → R2 sont linéaires. Caractériser géométriquement ces applications et faire un dessin. 1. f 1 (x, y) = (− x, − y) ; 2. f 2 (x, y) = (3x

) ssi ∀(α , β ) ∈ IR 2 , ∀( x, y ) ∈ E 2 : f (α . x + β . y ) = α . f ( x ) + β . f ( y ) Définition : Soient E et F • On dit que • On dit que • On dit que deux espaces vectoriels réels, et f une application linéaire de E vers F . f est un endomorphisme ssi E = F . f est un isomorphisme ssi f est bijective. f est un automorphisme ssi E = F et f est bijective. Exemples : 1) L’application f définie de IR 2 vers IR par f (( x , y )) = x + y est une application linéaire. 2) L’application f définie

–1 u2 = e2 , matrice diagonale des valeurs propres de A. Considérons maintenant la matrice Λ = Cours de Statistique - Chapitre 4 - Régression orthogonale Page 74 A est la matrice, dans la base canonique { e1, e2 }, d'un endomorphisme f. Cet endomorphisme f se réduit à deux homothéties, de rapport λ1 selon le vecteur u1, et de rapport λ2 selon le vecteur u2. Λ est donc la matrice, dans la base propre { u1, u2 }, de l'endomorphisme f. La matrice de l'application identique de R ² muni de

u2 = V –1 u2 = e2 Considérons maintenant la matrice Λ = , matrice diagonale des valeurs propres de A. Cours de Statistique - Chapitre 4 - Régression orthogonale Page 74 A est la matrice, dans la base canonique { e1, e2 }, d'un endomorphisme f. Cet endomorphisme f se réduit à deux homothéties, de rapport λ1 selon le vecteur u1, et de rapport λ2 selon le vecteur u2. Λ est donc la matrice, dans la base propre { u1, u2 }, de l'endomorphisme f. La matrice de l'application identique de R ² muni de

   σ(n,0) σ(n,1) ... σ(n,n–1) σ(n,n)    1 n 0 1 2 3 ...  1      n 0 0 1 3 ...  2      . B est elle-même la matrice d'un où A est la transposée de la matrice B = ... ... ... n 0 0 0 ... 1  n–1      0 0 0 ... 0 1 endomorphisme de n[X] dans la base canonique, qui à Xk associe (X+1)k. L'endomorphisme réciproque associe donc à Xk le polynôme (X–1)k de sorte que : 1 –1 ... 1 (–1)n n 0 1 –2 3 ... (–1)n–1 1      n 0 0 1 –3 ... (–1)n–2 2    –1   B = ... ... ...

l'espace articulaire (espace de la structure cinématique de la machine en robotique). L'espace travail, ou de la tâche est celui où se trouve les autres éléments de la cellule élémentaire de production. La dimension vectorielle est 3. Il y a donc un endomorphisme d'espaces vectoriels entre l'espace articulaire de la machine et l'espace travail. Il est donc totalement inutile de représenter le zéro mesure comme un point concourant de tous les axes dans l'espace travail. C'est un sophisme. Origine porte