Ensemble musical

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II CHAPITRE I. COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles Un ensemble E est une collection d'objets appelés éléments. Si x est un élément de E on dit que x appartient à E ou que E contient x, et on note x ∈ E. Si x n’est pas un élément de E on note x ∉ E. L’ensemble E peut avoir un nombre fini ou infini d’éléments. Dans le dernier cas E peut être dénombrable (par exemple E = Z, l’ensemble

La logique floue 1.1 Introduction à la logique floue  1.1.1 Historique  Le terme d’ensemble flou apparaît pour la première fois en 1965 lorsque le professeur Lotfi A. Zadeh, de l’université de Berkeley aux USA, publie un article intitulé « Ensembles flous » (Fuzzy sets). Il a réalisé depuis de nombreuses avancées théoriques majeures dans le domaine et a été rapidement accompagné par de nombreux chercheurs développant des travaux théoriques. Parallèlement, certains chercheurs se sont penchés

| 4/Cardinal d’un ensemble fini  Définition  Soit E un ensemble fini contenant n éléments avec[pic], l’entier naturel non nul n s’appelle cardinal de E . On note[pic]. On convient de poser[pic]. Propriétés  Soit E et F deux ensembles finis : 1) Si [pic] , [pic] 2) D’une façon générale [pic] . 5/Notion de p-uplet  a)Produit cartésien : Soit E et F deux ensembles finis. On pose par définition [pic] (on lit E croix F) Si [pic] . On

encore l’événement « obtenir le chiffre 1 ou le chiffre 3 », qu’on pourrait noter B = {1;3} , etc… © http://www.bacdefrancais.net Page 1 sur 6 Probabilités Cardinal : Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre d’éléments contenu dans cet ensemble. Il est généralement noté Card(ensemble). Dans l’exemple d’un lancer de dé, on a Ω = {1; 2;3; 4;5;6} , donc Card (Ω) = 6 3. Les différents types d’événements : L’événement élémentaire : C’est un événement constitué d’un et d’un seul

suite Ω d´signe un ensemble. e D´finition 1 Un sous ensemble C de P(Ω) est une alg`bre (de Boole) sur Ω si e e 1. Ω ∈ C 2. C est stable par compl´mentaire. e 3. C est stable par r´union finie. e D´finition 2 Un sous ensemble A de P(Ω) est une tribu ( ou σ-alg`bre) sur Ω si e e 1. Ω ∈ A 2. A est stable par compl´mentaire. e 3. A est stable par r´union d´nombrable. e e Le couple (Ω, A) sera appel´ un espace mesurable. Les ´l´ments de A sont appel´s e ee e ensembles mesurables. D´finition

´ ` ´ (L1) COURS DE MATHEMATIQUES PREMIERE ANNEE ´ DENIS DIDEROT PARIS 7 UNIVERSITE Marc HINDRY Introduction et pr´esentation. page 2 1 Le langage math´ematique page 4 2 Ensembles et applications page 8 3 Groupes, structures alg´ebriques page 23 4 Les corps des r´eels R et le corps des complexes C page 33 5 L’anneau des entiers Z page 46 6 L’anneau des polynˆ omes page 53 7 Matrices page 65 8 Espaces vectoriels page 74 9 Applications lin´eaires page 84 10 Introduction aux d´eterminants

Analyse Intégrale de Lebesgue —————————————————————————————— 1 Tribu Soit X un ensemble on note par P(X) l’ ensemble de tous les sous-ensembles de X. Une collection d’ ensembles A P(X) est dite tribu sur X si (a) X 2 A, (b) A 2 A ) Ac := X n A 2 A, 1 S Ai 2 A (c) (Ai )i2N A ) i=1 (Stabilité par réunion dénombrable). Si A est une tribu sur X, on dit que (X; A) est un espace mesurable et un ensemble A 2 A est dit A mesurable ou simplement mesurable s’ n’ a pas de confusion à craindre

leur point de vue, en évoquant au passage les considérations d’ordre philosophique qu’il soulève. Après un survol du « fini » et de l’infini « inachevé » (pré-Cantorien), nous tenterons de présenter les deux sortes d’infini qu’on trouve en théorie des ensembles : les ordinaux et les cardinaux. Tout au long de l’exposé se présentera la question « jusqu’où peut-on aller », et la réponse sera toujours « encore très loin ». 1 Introduction : qu’est-ce que le fini ? Jusqu’où va-ton (I) ? Si l’infini se

Théorie des ensembles 2 Théorie des ensembles 3 Plan du cours Cours de Mathématiques - ASINSA-1 Plan du cours Théorie des ensembles 1 Ensemble et sous-ensemble 1 Ensemble et sous-ensemble Frédéric STURM Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon 2 Opérations sur les ensembles 2 Opérations sur les ensembles Année académique 2010-2011 3 Produit cartésien 3 Produit cartésien F. STURM, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques - Première

entier n non nul : (k + 1)! - k! = k ´ k! n! = 1 + å kk ! k =0 n -1 1. Principes de base du dénombrement On rappelle que le cardinal d'un ensemble fini E, noté Card(E), représente son nombre d'éléments. Par exemple avec E = 0 ; 10, on a : 1.1. Principe de la somme Si des ensembles A1, A2, ..., Ap constituent une partition d'un ensemble fini E, alors : Card(A1) + Card(A2) + ... + Card(Ap) = Card(E) Exemple : Combien y a-t-il de carrés dont les côtés sont matérialisés sur la figure ci-contre