Ensemble vide

sous-ensemble de l’ensemble des n jetons, y compris l’ensemble vide. Combien y a-t-il de poignées : 1. Au total ? 2. contenant le jeton n°1 ? 3. contenant exactement deux jetons ? 4. contentant au moins 2 jetons ? 5. contentant un nombre pair de jetons ? Exercice 3. D.Pinel, revisermonconcours.fr Page 1 Eléments de correction Exercice 1. D.Pinel, revisermonconcours.fr Page 2 Exercice 2. 1. Il y 2 poignées possibles (cela correspond aux nombres de sous ensembles d’un

. . . . . . . . . . . . . . e e 1 2 4 4 1 Notion de fonction et notations Introduction D´ finition e ´e ´e Soit E un ensemble, on dit que A est une partie (ou un sous-ensemble) de E si tout el´ ment de A est un el´ ment de E. On dit aussi que A est inclus dans E et on note A ⊂ E. A ⊂ E ⇐⇒ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ E) D´ finition e ` ´e - Une fonction f d’un ensemble A vers un ensemble B, on note f : A → B, est une relation qui a chaque el´ ment de ´e A associe au plus un el´ ment de B. On exprime une fonction

Chapitre 1 Ensembles 1.1 Définitions, Exemples Définition On appelle ensemble toute collection d’objets bien déterminés dans laquelle les objets sont uniques. Ces objets s’appellent éléments de l’ensemble, ou les points de l’ensemble. Si x est un point d’un ensemble A, on écrit x ∈ A et on lit x appartient à A. Si x n’est pas un point de A, on écrit x ∈ A. Un ensemble peut être fini ou non, peut être concrêt ou imaginaire. Exemples −0, 1, 2, 3, · · · les entiers naturels forment un ensemble qui est

vôtre. ENSEMBLES, STRUCTURES ALGEBRIQUES PLAN I : Vocabulaire 1) Règles usuelles et notations 2) Logique 3) Introduction à la démonstration 4) Fonctions, injections, surjections 5) Ensembles finis 6) Relation d'ordre a) Définition b) Ordre total, ordre partiel c) Majorant, minorant, maximum, minimum II : Structures algébriques 1) Loi de composition interne 2) Définition d'un groupe 3) Sous-groupe 4) Morphismes, Exemples 5) Propriétés des morphismes 6) Anneaux et corps Annexe I : ensembles dénombrables

| n! est le produit : 1 × 2 × ... × n. | 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 | | | Factorielle (de) n. | | | | | Combinatoire | | | | ~ | Relation d'équivalence | | | | | « ... est équivalent à ... » | | | | | Théorie des ensembles | | | | | Équivalence | an ~ bn signifie que les suites an et bnsont équivalentes | sin(1/n) ~ 1/n (lorsque n tend vers l'infini) | | | « ... est équivalent à ... » | | | | | Analyse | | | | | Distribution de probabilité | X

RAPPELS SUR LA THEORIE DES ENSEMBLES I- DEFINITION DE L’ENSEMBLE : Un ensemble est constitué d’éléments appelés aussi individus. On désigne un ensemble par une lettre majuscule A, B….. et on désigne un élément par une lettre minuscule a,b … RMQ : l’ensemble peut être fini, ou infini EXEMPLE : l’ensemble des résultats du jet d’un dé bien équilibré : A = { 1,2,3,4,5 ,6} est un ensemble fini. II- TYPES D’ENSEMBLES : 1 – L’ENSEMBLE VIDE : C’est un ensemble qui ne contient aucun élément

| n! est le produit : 1 × 2 × ... × n. | 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 | | | Factorielle (de) n. | | | | | Combinatoire | | | | ~ | Relation d'équivalence | | | | | « ... est équivalent à ... » | | | | | Théorie des ensembles | | | | | Équivalence | an ~ bn signifie que les suites an et bn sont équivalentes | sin(1/n) ~ 1/n (lorsque n tend vers l'infini) | | | « ... est équivalent à ... » | | | | | Analyse | | | | | Distribution de probabilité |

Allez à : Correction exercice 3 : Exercice 4 : Soient et deux ensembles et ( ) , une application. On définit une relation ( ) ( ) sur en posant, pour tout 1. Montrer que est une relation d’équivalence. 2. Décrire la classe ̇ de l’élément . 3. Pourquoi l’application ̇ ( ) Est-elle bien définie ? Montrer qu’elle est injective. Que peut-on conclure sur l’ensemble quotient Allez à : Correction exercice 4 : Exercice 5 : Soit un ensemble et soit posant, pour tout couple ( ? une partie de

: , , , et et , , , et , , . Les autres exercices n’en sont pas moins intéressants pour autant, et doivent mériter votre attention. 1 Définitions de injection-surjection-bijection On considère une application , où est l’ensemble de départ (ensemble de définition , par . existe (de manière et s’il existe par l’application . Si et l’ensemble d’arrivée de . Ainsi, pour tout est l’image de , on dit que est un antécédent de de l’application) de unique !) et un élément . On dit que tel que

puisqu’Estragon et Vladimir cherchent ENSEMBLES des solutions pour se débarrasser de cette histoire. « - Où irons-NOUS ? - Pas loin. –Si, si, allons-NOUS-en loin d’ici ! – ON ne peut pas » ou encore montré dans le suicide : « Tu tireras sur mes jambes. – Et qui tirera sur les miennes ?». Les deux hommes semblent donc attachés l’un à l’autre. Ils ont commencés cette histoire ensembles, ils la vivent ensemble, attendent ensemble, ils la finiront par conséquent ensembles.  => On remarque dans un deuxième