Entier naturel

suite est borné , si elle est a la fois majorée et minorée La suite Un est croissante ( resp strictement croissante )lorsque pour tout entier n , on a : Un < Un+1 ( resp Un < Un+1) La suite Un est décroissante ( resp strictement décroissante ) lorsque pour tout entier n, on a Un > Un+1 (resp Un > Un+1 ) SUITES ARITHMETIQUES Reel r tel que , pour tout entier n , on ait Un+1 = un+r R = raison de la suite. Sn = u0+u1+ ….+un-1 est : Sn = n ( U0 + Un-1) 2 SUITES GEOMETRIQUES Reel

récurrence - On identifie clairement la propriété relative à un entier naturel que l’on se propose de démontrer. Cette propriété est : généralement donnée par l’énoncé soit conjecturée en observant les premières valeurs de Ensuite, il faut bien respecter les 2 étapes de raisonnement par récurrence : - L’initialisation ( vérifier que est vraie pour le premier indice ) - La transmission. On suppose que est vraie pour tout entier naturel quelconque , , montrons que est vraie ( DANS cette étape

graphique de la restriction de f à l’intervalle [ 0, π ] . 3 1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, n 3 − n est divisible par 6. 2) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 4 n − 1 est divisible par 3. 3) Déterminer les entiers naturels a et b tels que 35(a + 10) = 27( b + 13) 2 4) Déterminer l’ensemble de tous les couples (a,b) d’entiers naturels solutions 1 j -π O π 3  a ⋅ b = 1800 du système   a ∧ b = 15 5) Soit a = n 2 + 3n + 2

3 : ( ) ( ) ( ( ) )) ( ) ( ) ) ( ( (( ) Exercice 4 : Donner la négation mathématique des phrases suivantes 1. Toutes les boules contenues dans l’urne sont rouges. 2. Certains nombres entiers sont pairs. 3. Si un nombre entier est divisible par , alors il se termine par . Soit 4. est positive, c’est-à-dire « , ( ) » ( ) ( )» 5. est paire sur , c’est-à-dire « , Aller à : Correction exercice 4 : Exercice 5 : Soient les propositions, ( ) « J’ai

Il revient au même de dire que la réunion des Ai est E et que les Ai sont deux à deux disjoints.) Correction [005279] Exercice 3 *** Combinaisons avec répétitions. Montrer que le nombre de solutions en nombres entiers xi ≥ 0 de l’équation k x1 + x2 + ... + xn = k (k entier naturel donné) est Cn+k−1 . (Noter an,k le nombre de solutions et procéder par récurrence.) Correction [005280] Exercice 4 * Combien y a-t-il de nombres de 5 chiffres où 0 figure une fois et une seule ? Correction [005281]

ACTIVITÉS Suites (page 22) 5 r30 ≈ 3,353 et donc u30 ≈ 6,647. Activité 1 y d ⌬ 1 Pour tout entier naturel non nul n, un = 2  : la suite (un) n est géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison 2. y = 0,85x + 0,5 2 Comme 4 h = 12 × 20 min, u12 = 212 = 4 096. 3 u25 = 33 554 432 et u26 = 67 108 864 donc au bout de 26 × 20 min, soit 8 h 40 min, la population de bactéries dépasse les 38 000 000. 4p × (6 370 × 109)3 mm3 3 VTerre ≈ 1,08 × 1039. Or 2129 < 1,08 ×

de la suite. c) Comment modifier cet algorithme pour qu’il affiche tous les termes de u2 à un ? Variables I, N entiers naturels U réel Initialisation Lire N 1, 5 → U Traitement Pour I de 2 à N faire (I − 1)U + 1 →U 2I FinPour Afficher U 2) En s’inspirant de l’algorithme de la question 1), écrire un algorithme permettant de déterminer et d’afficher le plus petit entier n tel que un < 0, 001. Utiliser alors cet algoritme pour déterminer n. Exercice 3 Suite arithmético-géométrique

conjuguée n+n ne permettait pas de lever l’indétermination puisque cela aboutit à une nouvelle forme indéterminée (de type l’infini sur l’infini) Exercice 2 Soit u la suite définie par un= 2n-n3n, n∈ℕ Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , 2n-n est positif. En déduire un minorant de la suite u. On a : 20-0&gt;0 Posons comme hypothèse de récurrence que, pour une valeur donnée de n on a : 2n-n&gt;0. On a : 2n+1-(n+1)=2×2n-n-1=2n-1+2n-n Or, d’après l’hypothèse de récurrence

rang n  de la suite u  , c'est-à-dire u(n)  . La fonction définie pour tout entier naturel n  par u(n)=2n+1  est une suite. Il existe trois façons de définir une suite. 1. Définition explicite La suite (u n )  est définie directement par son terme général : u n =f(n)  2. Définition par récurrence Soient f  une fonction définie sur R  et un réel a  , une suite (u n )  peut être définie par récurrence pour tout entier naturel n  par :   u 0 =a ∀n∈N , u n+1 =f(u n )   3. Définition implicite La suite

I. Généralités sur les suites Dans tout le cours, on considère des suites (un)définies sur \mathbb{N} les entiers naturels. 1. Suites croissantes, suites décroissantes Définitions Une suite (un) est croissante si pour tout entier n, un infegal un+1. Une suite (un) est décroissante si pour tout entier n, un supegal un+1. Méthode : Pour étudier le sens de variation d'une suite (un), on étudie le signe de la différence un+1 - un. Si tous les un sont strictement positifs, on compare Un+1/Un