Entier naturel

dite héréditaire à partir du rang n0 si lorsque pour un entier k n0, la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier k+1. Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également. Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n n0. Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation)

« le gardien arrête le n-ième tir ».On a donc P(A1) = 0,7 . 1)a) Donner pour n [pic] 1, les valeurs de P(An+1/An) et P(An+1/[pic]) b) Exprimer P(An+1[pic]An) et P(An+1[pic][pic]) en fonction de P(An) . c) En déduire que, pour tout entier strictement positif n, on a : P(An+1) = 0,2P(An) + 0,6 . 2) On pose à présent, pour n [pic] 1 , pn = P(An) et un = pn – 0,75 . a) Démontrer que (un) est une suite géométrique de raison 0,2 . b) En déduire une expression

dont on donnera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10. Exercice 2 Soit la suite définie par et pour tout nombre entier naturel n, par . Si f est la fonction définie sur l'intervalle par : , alors on a, pour tout nombre entier naturel n, . On donne sur la figure ci-dessous une partie de la courbe représentative de la fonction f ainsi que la droite d'équation . Zoom 1. a) Sur l'axe des abscisses, placer

Narration de recherche nº2 | | Alvaro Lucas 16/10/2011 | 2nde3 Narration de recherche Pour commencer, j’ai testé l’algorithme pour des nombres entiers simples. J’ai compté le nombre de transformations jusqu’à 1. Nombre | Condition 1 satisfaite ? | N devient : | Condition 2 satisfaite ? | Fin ? | 1 | Non | 3n+1=5 | Non | Non | 5 | Non | 3n+1=16 | Non | Non | 16 | Oui | n/2=8 | Non | Non | 8 | Oui | n/2=4 | Non | Non | 4 | Oui | n/2=2 | Non | Non | 2 | Oui | n/2=1

: U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 0, 6 ×U + 120 à U Fin Pour Afficher U Fin algorithme 1 Variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N Pour i de 1 à N faire Affecter 115 à U Affecter 0, 4 ×U + 120 à U Fin Pour Afficher U Fin algorithme 2 Variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U

trop vieux ou abîmés, et d’acheter 6 000 ouvrages neufs. On appelle un le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année (2013+ n). On donne u0 = 42. 1. Justifier que, pour tout entier naturel n , on a un+1 = un × 0, 95 + 6. 2. On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. Variables : U, N Initialisation : Mettre 42 dans U Mettre 0 dans N Traitement : Tant que U < 100 U prend la valeur U × 0, 95 + 6 N prend la valeur

+  = 1,01 Rn ,  100  pour tout entier naturel n. On en déduit que la suite ( Rn ) est une suite géométrique de raison 1,01. Par conséquent, pour tout entier naturel n, Rn = R0 × (1,01) = 2300 × (1,01) . n n 2,5   Comme les coûts augmentent de 2,5 % tous les mois, alors Cn +1 = Cn ×  1 +  = 1,025 Cn ,  100  pour tout entier naturel n. On en déduit que la suite (Cn ) est une suite géométrique de raison 1,025 . Par conséquent, pour tout entier naturel n, Cn = C0 × (1,025 ) = 800 × (1,025

Centres étrangers 2014. Enseignement spécifique EXERCICE 2 (4 points) (commun à tous les candidats) On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes zn par : z0 = 16 zn+1 = . 1+i zn , pour tout entier naturel n. 2 On note rn le module du nombre complexe zn : rn = |zn |. Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine O, on considère les points An d’affixes zn . 1) a) Calculer z1 , z2 et z3 . b) Placer les points A1 et A2 sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie

mathématique. Définition d'une suite arithmétique. Dire que la suite (un) est arithmétique de raison r   signifie que   pour tout entier naturel n,un+1 = un + r | Ainsi, si est une suite est arithmétique alors  : Autrement dit : Propriété : Si (un) est une suite arithmétique de raison r  alors  pour tout entier n,un = u0 + n × r | De même, si n et p sont deux entiers naturels quelconques  alors :un = up + (n - p) × r | Ces formules permettent de calculer n'importe quel terme d'une suite arithmétique

cinquième de ces axiomes a pour énoncé : « par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à cette droite ». Un autre exemple d’axiomes est fourni par les (cinq) axiomes de Peano. Ceux-ci définissent l’ensemble des entiers naturels. Le cinquième axiome affirme que : « si P est une partie de N contenant 0 et telle que le successeur de chaque élément de c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr P est dans P (le successeur de